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10、脚注-高阶函数11、泰勒级数

10、脚注-高阶函数

本节只是为了下一节做铺垫，说一下什么是高阶函数 例如，路程函数 $s(t)$ 二阶导数就是，导数的导数；后面同理；

11、泰勒级数

泰勒公式-百度百科 泰勒公式是将一个在$x=x_0$处具有n阶导数的函数$f(x)$利用关于$(x-x_0)$的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数$f(x)$在包含$x_0$的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+(x-x_0)\frac{f^{{}^{\prime }}(x_0)}{1!}+(x-x_0{)}^2\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}+\cdots +(x-x_0{)}^n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}+R_n(x)$

这个咋一看，太复杂；本节就是形象解析这个内容，为真正学习微积分进行入门铺垫。

首先有一个例子引入，单摆离最低点的距离函数为$R(1-cos(\theta ))$，如下 但是，由于单摆摆动幅度很小，这个$cos(\theta )$就显得很奇怪，但是换成近似解，就清楚多了，就是抛物线 因此泰勒多项式，是用于求$x\to x_0$附近的近似函数

例如，求$cos(x)$在0附近的近似： 在$x=0$，每一次更高阶的导数，都可以算出泰勒多项式中对应阶的常数，非常方便。 如果不是求0点而是求a点附近的近似，只需要把函数写成$f(x-a)$

如果是算$f(x)=e^x$，则非常简单，因为他的导数总是让本身，永远都是$e^0=1$,下图： 所以，每一次更高阶项加入，函数就会更加近似，而且是全范围的，理论上可以加无限的项，就叫泰勒级数

并且，这个函数，是全范围可近似的泰勒级数，可收敛到$e^x$

但是有些级数就不行，例如，$ln(x)$的泰勒级数，在(0,2]在外，是发散的。