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反向传播1. 链式法则2. 计算图3. 变量向量化 神经网络

反向传播

1. 链式法则

使用链式法则计算复合表达式  考虑复合函数 $f(x,y,z)=(x+y)\times z$。我们将公示分为两部分 $q=x+y$ 和 $f=q\times z$。所以我们有 $\frac{\partial f}{\partial q}=z,\frac{\partial f}{\partial z}=q$ ; $\frac{\partial q}{\partial x}=1,\frac{\partial q}{\partial y}=1$。然而函数 $f$ 关于 $x,y,z$ 的梯度才是需要关注的。从而我们需要使用链式法则。链式法则指出将这些梯度表达式链接起来的正确方式是相乘，比如 $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial x}$。

计算对应的计算图如下： 前向传播从输入计算到输出（绿色），反向传播从尾部开始，根据链式法则递归地向前计算梯度（显示为红色），一直到网络的输入端。可以认为，梯度是从计算链路中回流。

Sigmoid例子  如下表达式，描述了一个含输入 $x$ 和权重 $w$ 的2维的神经元，该神经元使用了sigmoid激活函数。 $$f(w,x)=\frac{1}{1+e^{-(w_0{x}_0+w_1{x}_1+w_2)}}$$

其对应的计算图如下所示： sigmoid函数求导简化 sigmoid函数关于其输入的求导是可以简化的(使用了在分子上先加后减1的技巧)： $$\begin{gathered} \sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-1}} \\ \to \frac{d\sigma (x)}{dx}=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}=(\frac{1+e^{-x}-1}{1+e^{-x}})(\frac{1}{1+e^{-x}})=(1-\sigma (x))\sigma (x) \end{gathered}$$

通过这个技巧，我们就可以实现门的合并。

2. 计算图

我们通常将操作节点叫做门，一般的我们有：

add ：梯度分发器。$z=x+y\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial z}\times 1$。max：梯度路由器。$z=max(x,y)\Rightarrow$被选中的参数梯度为 $\frac{\partial L}{\partial z}$，否则为 $0$。mul：梯度交换器。$z=x\times y\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial z}\times y$。

3. 变量向量化

神经网络

在一层的线性分类器(感知器)中，我们仅仅学习了 $n$ 个模板，对于有多种特征的实体进行分类时，这明显是不足的。

多层神经网络可以解决单层神经网络的模板单一、鲁棒性差的问题。比如我们加深网络层数到两层，第一层输入为实体特征，第二层输入为第一层各分类模板得分。最后再通过 $W_2$ 进一步整合，以 $W_1$ 各模板得分为特征，得到最终的分类得分。