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题意：给定 $n,k$，求 $\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}i^k\bmod(10^9+7)$。
$1\le n\le 10^9,1\le k\le 5000$。
很水的一道题。
根据第二类斯特林数的性质：
$$n^k=\sum^k_{i=1}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!\dbinom{n}{i}$$
那么直接套进去：
$$\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\dbinom{i}{j}$$
$$\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum\limits^n_{i=j}\dbinom{n}{i}\dbinom{i}{j}$$
$$\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum\limits^n_{i=j}\dfrac{n!}{i!(n-i)!}\dfrac{i!}{j!(i-j)!}$$
$$\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum\limits^n_{i=j}\dfrac{n!}{(n-i)!}\dfrac{1}{j!(i-j)!}$$
$$\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum\limits^n_{i=j}\dfrac{n!}{j!(n-j)!}\dfrac{(n-j)!}{(n-i)!(i-j)!}$$
$$\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum\limits^n_{i=j}\dbinom{n}{j}\dbinom{n-j}{i-j}$$
$$\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\dbinom{n}{j}\sum\limits^n_{i=j}\dbinom{n-j}{i-j}$$
$$\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\dbinom{n}{j}\sum\limits^{n-j}_{i=0}\dbinom{n-j}{i}$$
$$\sum^k_{j=1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\dbinom{n}{j}2^{n-j}$$
如果我们知道了所有的 $\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}$ 那么这个式子可以做到 $O(k\log n)$。
而预处理这些斯特林数可以用 $k^2$ 递推，当然也可以用卷积做到 $k\log k$。
由于本题 $k^2$ 已经足够，而且模数不友好，直接递推就好了。
时间复杂度 $O(k^2+k\log n)$。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int mod=1000000007; #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++) #define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--) #define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x)) inline int read(){ int x=0,f=0;char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar(); while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return f?-x:x; } int n,k,S[5050][5050]; inline int qpow(int a,int b){ int ans=1; for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod; return ans; } int main(){ n=read();k=read(); S[0][0]=1; FOR(i,1,k) FOR(j,1,i) S[i][j]=(S[i-1][j-1]+1ll*S[i-1][j]*j)%mod; int c=1,f=1,ans=0; FOR(i,1,min(n,k)){ c=1ll*c*(n-i+1)%mod*qpow(i,mod-2)%mod; f=1ll*f*i%mod; ans=(ans+1ll*c*S[k][i]%mod*f%mod*qpow(2,n-i))%mod; } printf("%d\n",ans); } View Code
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