文章目录

概述实现

概述

线段树也称为“区间树”，它的适用场景也是很普遍的，关注的重点是“线段”，或者说是区间。非常经典的线段树题目是“区间染色”，搜搜看呗！

有的时候我们处理的数据的时候也需要进行区间的查询，比如说查询一个区间[i，j]的最大值，最小值，或者区间数字和。换成生活中的场景就是在2019年一年中，你的博客在什么时间段关注你的人增长最快啊，一天中自己的博文阅读量最高的时间段啊，某个星系中天体总量等等。这都可以是线段树的应用场景。

推荐两篇优秀的博文 一步一步理解线段树 线段树详解

线段树不是完全二叉树，但它是平衡二叉树，依然可以用数组表示。不要觉得惊讶，堆也是平衡二叉树的形式。

实现

数组的实现方式比较简单点，这里先采用数组的方式演示一下。

首先摆在我们面前的是，如果区间有n个元素的话，数组表示需要有多少节点？

想想满二叉树，最后一层的节点规律性是非常强的，

层数节点数0层11层22层43层8……n-1层2的(n-1)次方

对满二叉树：n层，一共有2的n次方-1个节点（大约是2的n次方）

最后一层（n-1层），有2的（n-1）次方个节点 最后一层的节点数大致等于前面所有层节点之和

如果区间有n个元素，n的值是2的k次方的话 只需要2n的空间 n的值是2的k次方+1的话，这也是最坏的情况 需要4n的空间

区间的元素都是放在叶子节点的。 这部分一定要动笔画画 动动笔一下子就能明白

也就是4n的空间就能放下所有的元素了（不考虑添加元素），并且实际上我们的线段树还不一定是满二叉树的形式，这里为了方便当成满二叉树处理的，不是满二叉树的话浪费的空间会更多了，但是拿一些空间换时间也是值得的。

线段树的叶子节点的组合是要针对具体的业务场景的,所以这里创建一个接口 具体的实现还是看自己

public interface Merger<E> { E merge(E a, E b); }

下面实现线段树的创建 区间查询 与更新

public class SegmentTree<E> { private E[] tree; //线段树数组 private E[] data; //存放传入进来的数组的副本 private Merger<E> merger; //data --> tree //************************************************ //初始化和创建线段树 //************************************************ //构造函数中的两个参数 一个是数组 一个是合并的方案 public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger){ this.merger = merger; data = (E[])new Object[arr.length]; for(int i = 0 ; i < arr.length ; i ++) data[i] = arr[i]; tree = (E[])new Object[4 * arr.length]; //三个参数，树根节点的索引 左右端点 buildSegmentTree(0, 0, arr.length - 1); } // 在treeIndex的位置创建表示区间[left...right]的线段树 private void buildSegmentTree(int treeIndex, int left, int right){ if(left == right){ tree[treeIndex] = data[left]; return; } int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex); //获取左孩子的节点 int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex); //获取右孩子的节点 // int mid = (left + right) / 2; int mid = left + (right - left) / 2; //分支 buildSegmentTree(leftTreeIndex, left, mid); buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, right); //之所以用merge 是由具体的业务逻辑决定的 可以是加等 需要自己定义 tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]); } public int getSize(){ return data.length; } public E get(int index){ if(index < 0 || index >= data.length) throw new IllegalArgumentException("Index is illegal."); return data[index]; } // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引 private int leftChild(int index){ return 2*index + 1; } // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引 private int rightChild(int index){ return 2*index + 2; } //************************************************ //查询 //************************************************ // 返回区间[queryL, queryR]的值 public E query(int queryL, int queryR){ //做基本的边界检查 if(queryL < 0 || queryL >= data.length || queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR) throw new IllegalArgumentException("Index is illegal."); return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR); } // 在以treeIndex为根的线段树中[l...r]的范围里，搜索区间[queryL...queryR]的值 private E query(int treeIndex, int left, int right, int queryL, int queryR){ if(left == queryL && right == queryR) return tree[treeIndex]; int mid = left + (right - left) / 2; // treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分 int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex); int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex); //简化递归 只递归一边 if(queryL >= mid + 1) return query(rightTreeIndex, mid + 1, right, queryL, queryR); else if(queryR <= mid) return query(leftTreeIndex, left, mid, queryL, queryR); //当无法简化递归时 两边都要递归 E leftResult = query(leftTreeIndex, left, mid, queryL, mid); E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, right, mid + 1, queryR); return merger.merge(leftResult, rightResult); //找到后 开始合并 } //************************************************ //更新 //************************************************ public void set(int index, E e){ //做基本的检查 if(index < 0 || index >= data.length) throw new IllegalArgumentException("Index is illegal"); data[index] = e; set(0, 0, data.length - 1, index, e); } // 在以treeIndex为根的线段树中更新index的值为e private void set(int treeIndex, int left, int right, int index, E e){ if(left == right){ tree[treeIndex] = e; return; } int mid = left + (right - left) / 2; // treeIndex的节点分为[l...mid]和[mid+1...r]两部分 int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex); int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex); if(index >= mid + 1) set(rightTreeIndex, mid + 1, right, index, e); else // index <= mid set(leftTreeIndex, left, mid, index, e); tree[treeIndex] = merger.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]); } //************************************************ //打印输出 //************************************************ @Override public String toString(){ StringBuilder res = new StringBuilder(); res.append('['); for(int i = 0 ; i < tree.length ; i ++){ if(tree[i] != null) res.append(tree[i]); else res.append("null"); if(i != tree.length - 1) res.append(", "); } res.append(']'); return res.toString(); } }

线段树也可以扩展为二维线段树（矩阵） 还有动态线段树（采用链式），解决了空间的浪费，而且可以实现自定义左右分支的元素的数量。

区间操作相关还有另外一个重要数据结构–树状数组（Binary Index Tree），除此之外还有RMQ.等，有兴趣都可以搜搜呗！