编辑距离（Edit Distance），又称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。一般来说，编辑距离越小，两个串的相似度越大。
举个例子，给定 2 个字符串str_a=“yes”, str_b=“yeah”. 编辑距离是将 str_a 转换为 str_b 的最少操作次数，操作只允许如下 3 种：
插入一个字符，例如：abc -> ab删除一个字符，例如：ab -> abc替换一个字符，例如：abc -> abd那么从str_a到str_b的转换过程总共需要两步：yes > yeas > yeah 或者 yes > yea > yeah，所以str_a和str_b的编辑距离为2。
假设字符串a, 共m位，从a[1]到a[m], 字符串b, 共m位, 从b[1]到b[m]. 用二维数组D来保存由a向b的编辑距离，其中D[i][j]表示字符串a[1]-a[i]转换为b[1]-b[i]的编辑距离.
递归的思想需要可以将问题拆解，假设a[i]和b[j]分别是字符串a和b的最后一位，那么要把问题拆解，有三种选择：
a[i-1], b[j]，即用a[1:i-1]继续和b[1:j]比较，删除了a[i]，需要额外一步代价；a[i-1], b[j-1]，即用a[1:i-1]继续和b[1:j-1]比较，如果a[i]和b[j]相等，那么无需额外代价，否则需要额外一步代价将a[i]修改为b[j]；a[i], b[j-1]，即用a[1:i]继续和b[1:j-1]比较，删除了b[j]，需要额外一步代价；换一种说法，也就是说具体要拆解为哪一种，需要考虑a[i]和b[j]的比值，以及这三种方法的代价。即如下递归规律：
当a[i]等于b[j]时，比如 abc和bbc，那么D[i][j] = D[i-1][j-1], 即等于ab和bb的编辑距离；当a[i]不等于b[j]时，D[i][j]等于如下3项的最小值： D[i-1][j] + 1，即删除a[i]， 比如abcd -> abc的编辑距离 = abc -> abc 的编辑距离 + 1D[i][j-1] + 1，即插入b[j]， 比如ab -> abc 的编辑距离 = abc -> abc 的编辑距离 + 1D[i-1][j-1] + 1，将a[i]替换为b[j]， 比如abd -> abc 的编辑距离 = abc -> abc 的编辑距离 + 1那么递归边界如何设定呢？
递归边界就是a[1:i]或者b[1:j]'为空的时候，即：
a[i][0] = i, b字符串为空，那么需要将a[1]-a[i]全部删除，所以编辑距离为ia[0][j] = j, a字符串为空，那么需要向a插入b[1]-b[j]，所以编辑距离为j
Python代码:
def recursive_edit_distance(str_a, str_b): if len(str_a) == 0: return len(str_b) elif len(str_b) == 0: return len(str_a) elif str_a[len(str_a)-1] == str_b[len(str_b)-1]: return recursive_edit_distance(str_a[0:-1], str_b[0:-1]) else: return min([ recursive_edit_distance(str_a[:-1], str_b), recursive_edit_distance(str_a, str_b[:-1]), recursive_edit_distance(str_a[:-1], str_b[:-1]) ]) + 1 str_a = "yes" str_b = "yeah" print(recursive_edit_distance(str_a, str_b)) # output is : 2算法分析：该算法逻辑清晰，可读性较高，但是对于计算机而言却很不友好，时间复杂度高，随字符串长度呈指数级增长，而且递归算法的通病就是调用栈太深的时候，需要占用较多计算机资源。
如果熟悉动态规划的同学，从上边的思路可以很容易推理出动态规划的递推公式：
if a[i] == b[j]: edit_distance(a[i], b[j]) = edit_distance(a[i-1], b[j-1]) if a[i] != b[j]: edit_distance(a[i], b[j]) = MIN ( edit_distance(a[i-1], b[j]) + 1, # 从a中删除a[i] edit_distance(a[i], b[j-1]) + 1, # 向a中插入b[j] edit_distance(a[i-1], b[j-1]) + 1 # 将a[i]修改为b[j] )转换为Python，也就是用二维数组D来记录从a向b的转换过程：
def edit_distance(str_a, str_b): if str_a == str_b: return 0 if len(str_a) == 0: return len(str_b) if len(str_b) == 0: return len(str_a) # 初始化dp矩阵 dp = [[0 for _ in range(len(str_a) + 1)] for _ in range(len(str_b) + 1)] # 当a为空，距离和b的长度相同 for i in range(len(str_b) + 1): dp[i][0] = i # 当b为空，距离和a和长度相同 for j in range(len(str_a) + 1): dp[0][j] = j # 递归计算 for i in range(1, len(str_b) + 1): for j in range(1, len(str_a) + 1): dp[i][j] = dp[i-1][j-1] if str_a[j-1] != str_b[i-1]: dp[i][j] = min([dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]]) + 1 return dp[len(str_b)][len(str_a)] str_a = "yes" str_b = "yeah" print(edit_distance(str_a, str_b)) # output is : 2上边的算法中用二维数组来存储从a到b的距离，从递推公式来看，其实每一步dp[i][j]的计算只依赖a[i]和b[j]是否相等以及矩阵中的三个值：
左边的值，left = dp[i-1][j]左上角的值，left_up = dp[i-1][j-1]上边的值，up = dp[i][j-1]其实我们可以用一维数组来达到上述目的，具体可以看Python代码：
def edit_distance(str_a, str_b): if str_a == str_b: return 0 if len(str_a) == 0: return len(str_b) if len(str_b) == 0: return len(str_a) dp = [x for x in range(len(str_b) + 1)] for i in range(1, len(str_a) + 1): # 注意每次left_up和dp[0]的初始化 left_up = i - 1 dp[0] = i # 当前轮最左的left for j in range(1, len(str_b) + 1): up= dp[j] # j是上一轮的值，即up left = dp[j-1] # j-1是当前轮的值，即left if str_a[i-1] == str_b[j-1]: dp[j] = left_up else: dp[j] = min([left, up, left_up]) + 1 left_up = up # 每移动一步，上一轮的up就变成了left_up return dp[len(str_b)] str_a = "yes" str_b = "yeah" print(edit_distance(str_a, str_b)) # output is : 2输出
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 2 2 3 4 5 6 7 5 4 3 3 2 2 3 4 5 6 6 5 4 4 3 2 2 3 4 5 7 6 5 5 4 3 2 2 3 4 8 7 6 6 5 4 3 2 2 3 9 8 7 7 6 5 4 3 2 2 10 9 8 8 7 6 5 4 3 3 11 10 9 9 8 7 6 5 4 4 keep [ y ] keep [ e ] change [ a ] to [ s ] change [ h ] to [ x ] keep [ x ] keep [ x ] keep [ x ] keep [ x ] keep [ x ] remove [ h ] remove [ h ] 4转载于:https://www.cnblogs.com/CheeseZH/p/8821282.html
