斐波那契数列的编程实现及一般推广

斐波那契数列是一列规律很简单、明显的数列，它的第0项是0，第1项是1，第2项是1，依此类推，之后每一项是之前两数的和。首几个数是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ……（OEIS A000045）

编程实现

最容易想到的实现方法，可以设一个数组，首两项是0和1，从n=2项起，每一项是之前两项之和，循环依次赋值，这里代码略去。下面介绍另几种实现方法。

用递归方法实现：

static long getItemRecursive(int index) { if (index < 1) return 0; if (index == 1) return 1; return getItemRecursive(index - 1) + getItemRecursive(index - 2); }

这种实现方式最直观，但会很耗时，若方法名为fib，当index为5时，fib(5)的计算过程如下：

fib(5)fib(4) + fib(3)(fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))(((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

由上面可以看出，这种算法对于相似的子问题进行了重复的计算，因此不是一种高效的算法。实际上，该算法的运算时间是指数级增长的。

另外两种递归实现（C#）：

static long getItem2(int index) { return getItemRecursive2(0, 1, 0, index); } static long getItemRecursive2(int curr, int next, int currIndex, int index) { if (currIndex == index) { return curr; } else { return getItemRecursive2(next, curr + next, currIndex + 1, index); } } static void getItemRecursive1(out long a2, out long a1, int index) { if (index <= 1) { a2 = 1; a1 = 0; } else { long m2, m1; getItemRecursive1(out m2, out m1, index - 1); a1 = m2; a2 = m2 + m1; } }

利用动态规划：

static long getItem(int index) { long n0 = 0, n1 = 1; if (index < 1) return n0; if (index == 1) return n1; long sn; for (int i = 2; i <= index; i++) { sn = n0 + n1; n0 = n1; n1 = sn; //或者以下方法 //n1 = n0 + n1; //n0 = n1 - n0; //或者以下方法 //n0 = n1 ^ (n0 + n1); //n1 = n1 ^ n0; //n0 = n1 ^ n0; } return n1; }

利用矩阵乘法、快速幂的实现：

这种方式当计算较大项（index大于65535）时，所花费的时间要比前面的方法花费的时间少至少一个数量级。

原理如下：

实现代码：

class FibonacciCalculator { struct FibonacciMatrixMultiple { public BigInteger a11; public BigInteger a12; public BigInteger a21; public BigInteger a22; public FibonacciMatrixMultiple(BigInteger p_a11, BigInteger p_a12, BigInteger p_a21, BigInteger p_a22) { this.a11 = p_a11; this.a12 = p_a12; this.a21 = p_a21; this.a22 = p_a22; } public static FibonacciMatrixMultiple operator *(FibonacciMatrixMultiple mat1, FibonacciMatrixMultiple mat2) { return new FibonacciMatrixMultiple( mat1.a11 * mat2.a11 + mat1.a12 * mat2.a21, mat1.a11 * mat2.a12 + mat1.a12 * mat2.a22, mat1.a21 * mat2.a11 + mat1.a22 * mat2.a21, mat1.a21 * mat2.a12 + mat1.a22 * mat2.a22 ); } } struct FibonacciMatrix { public BigInteger a11; public BigInteger a21; public FibonacciMatrix(BigInteger p_a11, BigInteger p_a21) { this.a11 = p_a11; this.a21 = p_a21; } public static FibonacciMatrix operator *(FibonacciMatrixMultiple mat1, FibonacciMatrix mat2) { return new FibonacciMatrix( mat1.a11 * mat2.a11 + mat1.a12 * mat2.a21, mat1.a21 * mat2.a11 + mat1.a22 * mat2.a21 ); } } private static FibonacciMatrix getFibonacciMatrix(int n) { FibonacciMatrix resultMatix = new FibonacciMatrix(1, 1); FibonacciMatrixMultiple multiple = new FibonacciMatrixMultiple(1, 1, 1, 0); while (n > 0) { if ((n & 1) == 1) resultMatix = multiple * resultMatix; n >>= 1; if (n > 0) multiple *= multiple; } return resultMatix; } public static BigInteger GetFibonacci(int index) { if (index < 1) return 0; if (index == 1) return 1; return getFibonacciMatrix(index - 2).a11; } }

JAVA语言实现：

1 class FibonacciCalculator { 2 static class FibonacciMatrixMultiple { 3 public BigInteger a11; 4 public BigInteger a12; 5 public BigInteger a21; 6 public BigInteger a22; 7 8 public FibonacciMatrixMultiple(BigInteger p_a11, BigInteger p_a12, 9 BigInteger p_a21, BigInteger p_a22) { 10 this.a11 = p_a11; 11 this.a12 = p_a12; 12 this.a21 = p_a21; 13 this.a22 = p_a22; 14 } 15 } 16 17 public static FibonacciMatrixMultiple Multiply( 18 FibonacciMatrixMultiple mat1, FibonacciMatrixMultiple mat2) { 19 return new FibonacciMatrixMultiple(mat1.a11.multiply(mat2.a11).add( 20 mat1.a12.multiply(mat2.a21)), mat1.a11.multiply(mat2.a12).add( 21 mat1.a12.multiply(mat2.a22)), mat1.a21.multiply(mat2.a11).add( 22 mat1.a22.multiply(mat2.a21)), mat1.a21.multiply(mat2.a12).add( 23 mat1.a22.multiply(mat2.a22))); 24 } 25 26 static class FibonacciMatrix { 27 public BigInteger a11; 28 public BigInteger a21; 29 30 public FibonacciMatrix(BigInteger p_a11, BigInteger p_a21) { 31 this.a11 = p_a11; 32 this.a21 = p_a21; 33 } 34 } 35 36 public static FibonacciMatrix Multiply2(FibonacciMatrixMultiple mat1, 37 FibonacciMatrix mat2) { 38 return new FibonacciMatrix(mat1.a11.multiply(mat2.a11).add( 39 mat1.a12.multiply(mat2.a21)), mat1.a21.multiply(mat2.a11).add( 40 mat1.a22.multiply(mat2.a21))); 41 } 42 43 private static FibonacciMatrix getFibonacciMatrix(int n) { 44 FibonacciMatrix resultMatrix = new FibonacciMatrix( 45 BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(1)); 46 FibonacciMatrixMultiple multiple = new FibonacciMatrixMultiple( 47 BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(1), 48 BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(0)); 49 while (n > 0) { 50 if ((n & 1) == 1) 51 resultMatrix = Multiply2(multiple, resultMatrix); 52 n >>= 1; 53 if (n > 0) 54 multiple = Multiply(multiple, multiple); 55 } 56 return resultMatrix; 57 } 58 59 public static BigInteger GetFibonacci(int index) { 60 if (index < 1) 61 return BigInteger.valueOf(0); 62 if (index == 1) 63 return BigInteger.valueOf(1); 64 return getFibonacciMatrix(index - 2).a11; 65 } 66 } View Code

通项公式

斐波那契数列有通项公式（推导见下方）：

令人惊奇的是，公式中的a_n值是以无理数的幂表示的，然而所得的结果完全是整数。

不难看出，数列随着项数n的增加，前后项之比值会愈来愈趋近于黄金比例。

推广

斐波那契—卢卡斯数列

卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。

卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=[(1+√5)/2]^n+[(1-√5)/2]^n

这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F(n)*L(n)=F(2n)，及L(n)=F(n-1)+F(n+1)

n12345678910…斐波那契数列F(n)11235813213455…卢卡斯数列L(n)13471118294776123…F(n)*L(n)138215514437798725846765…

类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。

如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。

斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1）

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … F[1,4]n 1 4 5 9 14 23 37 60 97 157 … F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 … F[1,4]n-F[1,3]n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 … F[1,4]n+F[1,3]n 2 7 9 16 25 41 66 107 173 280 …

②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … F[1,1](n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … F[1,1](n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 … F[1,1](n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 … F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …

黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列

斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值，斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。

广义斐波那契数列

斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。佩尔数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。当p=2，q=1时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。当p=2，q=-1时，我们得到等差数列。其中f(1)=1，f(2)=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1。当f1=1，f2=2，p=2，q=1时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……

通项公式推导

对于广义斐波那契数列，有

设

化简得：

比较系数可得：

当p² + 4q  > 0，解得：

令

有

 ...①

令

有

 ...②

联立①、②式，

①式等式两边同乘β₁得：

②式等式两边同乘β₂得：

两式相减得：

斐波那契数列的特征为：a₁=1, a₂=1, p=1, q=1，代入上式可得通项公式为：

卢卡斯数列的特征为：a₁=1, a₂=3, p=1, q=1，代入上式可得通项公式为：

 

当p² + 4q = 0，解得：

令

有

……

将上述n-1个式子两边分别乘以1, , , ... , 

……

再相加，得：

自然数数列的特征为：a₁=1, a₂=2, p=2, q=-1，代入上式可得通项公式为：

a_n=n

性质

一些有关斐波那契数列的Online Judge的题目参见：http://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/04/1559951.html

参见

http://zh.wikipedia.org/wiki/斐波那契数列http://baike.baidu.com/view/816.htmhttp://science.scileaf.com/library/763http://bbs.tianya.cn/post-666-20190-1.shtmlhttp://www.hytc.cn/xsjl/szh/lec5.pdf

转载于:https://www.cnblogs.com/antield/p/fibonacci-number.html

相关资源：数据结构—成绩单生成器