组成原理（二）数据表示和计算

第二章 数据表示和计算

2.1 进制的转换

十进制转换为二进制 （1）除2取余法（整数部分） 对十进制的数不断除2求余，直到商为0。先求得的余数是二进制的低位\((327)_{10}\)转换：转换为 \((101000111)_2\)

第n次除2后的商余数163181140120010050211001

（2）减权定位法（整数部分） 一个数减去2的几次方，用余数再次减去2的几次方\((327)_{10}\)转换：

减权定位327 - 256 = 71171 < 128071 -64 = 717 < 3207 < 1607 < 807 - 4 = 313 - 2 = 111-1=00

（3）乘2取整法 把小数不断地乘2，取每次结果的整数，直到结果为1\((0.8125)_{10} 转换为 (0.11.1)_2\)

乘2取整0.8125 * 2 = 1.62510.625 * 2 = 1.2510.25 * 2 = 0.500.5 * 2 = 1.01

1.2 真值和机器数

真值：正负号+某进制数绝对值的形式称为真值机器数：符号位用0表示正号，-1表示符号

BCD码表示十进制数 （1）8421码         十进制中的每一位数字分别用8421(4bit)表示。eg：63表示为8421码         6（0110）3（0011） （2）2421码         十进制中的每一位数字用2421(4bit)表示         6（1100）3（1001） （3）余3码         每一位十进制数对应的二进制都加上011         6（1001）3（0110） （4）BCD码的计算         BCD码的计算，把每4位二进制分为一组，组与组之间进行运算，逢十进一。         和小于9的时候不调整：         和大于9的时候加6 \((0110)_2\)进行修正

汉字的显示 （1）汉字在屏幕上使用点阵显示，采用1616的点阵。每个点采用1或者0表示是否点亮，所以一个汉字需要占用显存162byte

奇偶校验

汉明码校验（适合信道良好的环境） （1）主存和cpu进行数据交换时，检测数据交换的是否正确，能检测出一位出错，并能知道是哪一位出错。 （2）主要是通过检测第2^i位置，1的个数是偶数还是奇数 （3）数据位m位，校验位k位，只要2^k>m+k+1即可 （4）编码步骤：         a) 数据位 -> 计算出检测位多少位（2^k>m+k+1）         b) 计算机校验位公式         c) 算出检测位的值

CRC校验 （1）在硬盘和主机进行数据交换时校验 （2）解决的问题：         a）数据位是n位要增加多少位的校验位呢？校验位个数和数据位个数无关         b）通讯双方有一个约定：生成多项式（k+1位），k是校验位的位数         c）由数据位和生成多项式产生CRC编码 （3）数据位和生成多项式是已知的，要产生CRC编码，只有校验位不知道。产生校验位的方法就是模二计算 （4）模二计算：没有进位也没有借位的计算（有加减乘除的模二计算），模二加减法运算相当于异或操作，相同的数相加为0，不同的数相加为1 （5）校验码就是用模二除法计算得来 （6）如何生成CRC码

（1）设数据位m(x)为100占3位，约定生成多项式g(x)100占3位 （2）则校验位占2位，就是说模二除法的余数占2位 （3）用数据位m(x)除以生成多项式g(x)得到余数r(x) （4）过程：因为余数占2位，所以把数据位向左移动2位。m(x)x^k,即数据位编程10000， 接着，用100000模二除以101，得到商101，余数01，即r(x)=01,得到CRC编码为m(x)x^k + r(x)，即最终的CRC校验码为10000+01=10001，所以发送的10001比特位在接收端除以生成多项式的余数为0，表示传输没错 。 （5）公式上的推导：      \(\frac{m(x)*x^k}{g(x)} = Q(x)，r(x)\) //Q(x)是商，r(x)是余数      所以\(m(x)*x^k = g(x)*Q(x)+r(x)\)      而CRC码：$m(x)x^k + r(x) = g(x)Q(x) + r(x) + r(x) $      /** 因为r(x)和r(x)是模二加运算，所以相加后为0，消去了r(x) **/      最终CRC码变成了g(x)*Q(x)，到对方当校验的时候，CRC码除以g(x)就不会有余数

（6）CRC的检错：所有位的都能知道是哪一位出错，也只能知道一位         eg：设数据位m(x)=1100，生成多项式G(x)为1011，求产生的CRC码         （a）生成多项式1011，是4位，所以余数位（产生的校验位）为3位，         （b）数据位左移三位，变成1100000，模二除1011，得到商1110，余数010         （c）CRC码：1100010 （7）纠错：         设CRC码的第7位传输出错，则CRC变成1100001。 此时，除以生成多项式得到余数001。         设CRC码的第6位传输出错，则CRC变成1100000。 此时，除以生成多项式得到余数010。         而这个010，恰恰是第7位传输出错后的余数001，后面补一位0后除以1011的

（a）反过来想，CRC的纠错功能，要让每一位传输出错后，除以多项式的余数都不同，所以如果数据为4位，余数的位数要满足4+n+1<2^n,此时n=3（4+n后面还要加1是因为1代表没有出错的情况）。所以生成多项式要有4位（b）余数；如果001补两个0，的道德余数就是第5位出错的余数，循环的意义在与此：在计算出错位数除以生成多项式产生的余数时，可以先计算一个最低位出错后产生的余数，之后比他高一位的位传输错误产生的余数就可以用循环补0除以多项式的方法计算。所以g(x)不好选，要构成这种循环。（c）根据这种循环计算出错位产生的余数方法，就行成了一个出错位对应产生余数的表。有了这个表，接收端计算后发现传输的数据有余数时，就能知道是哪一位出错了，也就有了纠错的功能。（d）发现对应位出错，就把该位置的数据取反。电路实现上，不能在每一位数据加上一个非门，这样硬件成本太高。而是采用，只有一个非门，改变数据的时候，只需把数据循环移位，将出错的位置移到第一位，非门改变第一位数据后，再次循环移位成原来的顺序

（8）生成多项式的产生要满足检错纠错的功能

2.2 定点数的表示

无符号数 寄存器的位数表示熟知的范围：8位为0~255定点整数与定点小数

原码，反码，补码，移码 （1）原码：     （a）最高位表示符号位，0表示正号，1表示负号，有效值部分用二进制的绝对值表示。     （b）原码 = 符号 + 绝对值     （c）定点整数定义:

        \([X]_原\)=0，x （\(2^n > x \geq 0\)）         \([X]_原\)=2^n - x（\(0 > x \geq -2^n\)）         (因为x为负数，减x相当于加上一个x绝对值，而\(2^n\)相当于最高位的1，所以就是1后面跟x的绝对值)         eg：x = +1110，\([X]_原\) = 0,1110         x= -1110，，\([X]_原\) = 1，1110

        (d)定点小数定义:

        \([X]_原\)=0. x （\(1 > x \geq 0\)）         \([X]_原\)=1-x （\(0 > x \geq -1\)）         eg：x=+0.1101 => \([X]_原\)=0.1101               x = -0.1101 => \([X]_原\)=1.1101         【注】：原码中，+0和-0的表示方法不一样。1，0000和0，0000         （e）原码表示范围：\(-(1-2^{-n}) \leq x \leq 1-2^{-n}\))。                 源码小数的表示范围：\(-(2^{-n})-1 \leq x \leq （2^{-n}-1）\)

（2）补码

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