ps. 搬运自百度百科。 地球是一个球体，球面上的位置，是以经纬度来表示，它称为“球面坐标系统”或“地理坐标系统”。 在球面上计算角度距离十分麻烦，而且地图是印刷在平面纸张上，要将球面上的物体画到纸上，就必须展平，这种将球面转化为平面的过程，称为“投影”。 经由投影的过程，把球面坐标换算为平面直角坐标，便于印刷与计算角度与距离。但由于球面无法百分之百展为平面而不变形，所以除了地球仪外，所有地图都有某些程度的变形，有些可保持面积不变，有些可保持方位不变，视其用途而定。 墨卡托投影、高斯-克吕格投影、UTM投影等，即是用来完成上述任务的。
有一条直线 L L L（其方向向量为 s ⃗ \vec{s} s ， M M M为直线上一点）和直线外一点 M 0 M_0 M0，求证：点 M 0 M_0 M0到直线 L L L的距离为 d = ∣ M 0 M ⃗ × s ⃗ ∣ ∣ s ⃗ ∣ d=\frac{|\vec{M_0M}\times \vec{s}|}{|\vec{s}|} d=∣s ∣∣M0M ×s ∣ 证明： 向量的叉乘的（大小的）几何含义为： ∣ M 0 M ⃗ × s ⃗ ∣ = ∣ M 0 M ⃗ ∣ ⋅ ∣ s ⃗ ∣ ⋅ sin ( θ ) |\vec{M_0M}\times \vec{s}|=|\vec{M_0M}|\cdot|\vec{s}|\cdot \sin(\theta) ∣M0M ×s ∣=∣M0M ∣⋅∣s ∣⋅sin(θ)，即以 M 0 M ⃗ , s ⃗ \vec{M_0M}, \vec{s} M0M ,s 为邻边的平行四边形的面积。 则， ∣ M 0 M ⃗ × s ⃗ ∣ ∣ s ⃗ ∣ \frac{|\vec{M_0M}\times \vec{s}|}{|\vec{s}|} ∣s ∣∣M0M ×s ∣即为边 s ⃗ \vec{s} s 对应的高，换言之，即点 M 0 M_0 M0到直线 L L L的距离为 d = ∣ M 0 M ⃗ × s ⃗ ∣ ∣ s ⃗ ∣ d=\frac{|\vec{M_0M}\times \vec{s}|}{|\vec{s}|} d=∣s ∣∣M0M ×s ∣。【得证】
【例1】如果直线 l l l过零点，其方向向量为 n ⃗ l = ( x 0 , y 0 , z 0 ) \vec{n}_l=(x_0,y_0,z_0) n l=(x0,y0,z0)，空间一点为 a = ( x a , y a , z a ) a=(x_a,y_a,z_a) a=(xa,ya,za)，问点 a a a到直线 l l l的距离为？
已知坐标系 c c c的单位正交基为 ( e 1 , e 2 , e 3 ) (e_1,e_2,e_3) (e1,e2,e3)，假设经过一次旋转，变成了坐标系 c ′ c' c′，其单位正交基为 ( e 1 ′ , e 2 ′ , e 3 ′ ) (e'_1,e'_2,e'_3) (e1′,e2′,e3′)，求该旋转对应的变换矩阵。 解：设有一个向量 a a a，其在两个坐标系下的坐标分别为： [ a 1 , a 2 , a 3 ] T , [ a 1 ′ , a 2 ′ , a 3 ′ ] T [a_1,a_2,a_3]^T,[a'_1,a'_2,a'_3]^T [a1,a2,a3]T,[a1′,a2′,a3′]T，对于这同一个向量则应有： [ e 1 e 2 e 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ e 1 ′ e 2 ′ e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ e 1 T e 2 T e 3 T ] [ e 1 ′ e 2 ′ e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} e_1&e_2 & e_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} e'_1&e'_2 & e'_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a'_1 \\ a'_2 \\ a'_3 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} e^T_1 \\ e^T_2 \\ e^T_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e'_1&e'_2 & e'_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a'_1 \\ a'_2 \\ a'_3 \end{bmatrix} \end{aligned} [e1e2e3]⎣⎡a1a2a3⎦⎤⎣⎡a1a2a3⎦⎤=[e1′e2′e3′]⎣⎡a1′a2′a3′⎦⎤=⎣⎡e1Te2Te3T⎦⎤[e1′e2′e3′]⎣⎡a1′a2′a3′⎦⎤
则， R = [ e 1 T e 2 T e 3 T ] [ e 1 ′ e 2 ′ e 3 ′ ] R= \begin{bmatrix} e^T_1 \\ e^T_2 \\ e^T_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e'_1&e'_2 & e'_3 \end{bmatrix} R=⎣⎡e1Te2Te3T⎦⎤[e1′e2′e3′]
可以看出，这个矩阵由两组单位正交基之间的内积组成，刻画了同一个向量在两个坐标系下坐标的变换关系。
