2^x mod n = 1

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 13341    Accepted Submission(s): 4143 Problem Description Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1.   Input One positive integer on each line, the value of n.   Output If the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1. Print 2^? mod n = 1 otherwise. You should replace x and n with specific numbers.   Sample Input 2 5   Sample Output 2^? mod 2 = 1 2^4 mod 5 = 1   Author MA, Xiao   欧拉定理百度百科 模运算性质 做为一个ACMer，还是好好看看上面的百度百科吧。挺实用的

依据模P乘法逆元：对于整数a、p假设存在整数b，满足a*b mod p=1则称b是a的模P乘法逆元。

a存在模P的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p)=1。令a=2^x。b=1。p=n

则若存在x使用2^x mod n=1则gcd(2^x,n)=1

(1)由于要求x的值大于0。

则2^x的因子中仅仅有一个2,所以当n为偶数时gcd(2^x,n)=2k(k=1,2,3...)。即此时不存在x使得2^x mod n=1。

(2)当n为奇数时gcd(2^x,n)=1。则必存在x使得2^x mod n=1。

(3)因为不论什么数模1的结果为0，所以当n=1时，不管x取何值，2^x mod n=0.

综合上述(1),(2),(3)。当n的值为1或偶数时，不存在x使得2^x mod n=1。其他情况则必存在一x使得2^x mod n =1。

代码： #include <stdio.h> int main() { int n ; while(~scanf("%d",&n)) { if(n==1 || n%2==0) { printf("2^? mod %d = 1\n",n); } else { int j = 1, mi=2; while(true) { mi %= n ; if(mi == 1) { printf("2^%d mod %d = 1\n",j,n) ; break ; } mi *= 2 ; ++j ; } } } return 0 ; } 与君共勉

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