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1 Logistic 回归算法的原理
1.1 需要的数学基础
我在看机器学习实战时对其中的代码非常费解，说好的利用偏导数求最值怎么代码中没有体现啊，就一个简单的式子：θ= θ - α Σ [( hθ(x(i))-y(i) ) ] * xi 。经过查找资料才知道，书中省去了大量的理论推导过程，其中用到了线性函数、sigmoid 函数、偏导数、最大似然函数、梯度下降法。下面让我们一窥究竟，是站在大神的肩膀描述我自己的见解。
1.2 Logistic 回归的引入
Logistic 回归是概率非线性模型，用于处理二元分类结果，名为回归实为分类。下面给出一个二元分类的例子，如下图所示：
图中数据分成两类，打叉的一类用 y = 1 表示，另一类为圆圈用 y= 0 表示。现在我们要对数据进行分类，要找到一个分类函数(边界线)，我们很容易得出一个线性函数对其分类：0 = θ0 + θ1x1 + θ2x2 。但我们想要的函数应该是，能接受所有的输入然后预测类别。例如：在两个分类的情况下，函数输出 0 或 1。因此，我们就需要引入Sigmoid 函数，这个函数的性质可以满足要求。Sigmoid 函数：
Sigmoid 函数的值域为（0,1），且具有良好的从0 到 1 的跳跃性，如在两个不同的坐标尺度下的函数图形：
所以，我们把线性方程和Sigmoid 函数结合起来就能解决问题。即 ：分类预测函数 hθ (x) = g( θ0 + θ1x1 + θ2x2) .我们就可以对样本数据进行分类，如下图所示：
对于线性的分类边界，如下形式：
分类预测函数，如下形式：
其中，θT 是向量 θ (θ0, θ1,... ,θn) 的转置，向量 x ( x0 , x1 ,... , xn)，n -1为数据的维度，x0 =1，这是便于计算。
1.3 分类预测函数问题的转化成求θ
通过上面的分析，我们得出了分类预测函数 hθ(x) , 但其中向量 x 是已知的（x 是未知类别号的对象数据），向量 θ 未知，即我们把求分类函数问题转化成求向量 θ 。因为Sigmoid 函数的取值区间（0,1），那我们可以看做概率 P（y = 1 | xi ; θ）= hθ(x) , 表示在 xi 确定的情况下，类别 y = 1 的概率。由此，我们也可以得出在 xi 确定的情况下，类别 y = 0 的概率 P（y = 0 | xi ; θ）= 1 - P（y = 1 | xi ; θ）= 1 - hθ(x) . 即 ：
我们可以将这两个式子合并得：
其中的 y = 0 或 1 .
这时候我们可以利用最大似然函数对向量 θ 求值，可以理解为选取的样本数据的概率是最大的，那么样本数为 m 的似然函数为：
通过对数的形式对似然函数进行变化，对数似然函数：
这里的最大似然函数的值就是我们所要求的向量 θ , 而求解的方法利用梯度下降法。
1.4 梯度下降法求解θ
在用梯度下降法时，我们将会利用Sigmoid 函数的一个性质： g, (z) = g(z）[ 1- g(z) ] 。
构造一个Cost函数（损失函数），该函数表示预测的输出（h）与训练数据类别（y）之间的偏差，可以是二者之间的差（h-y）或者是其他的形式。综合考虑所有训练数据的“损失”，将Cost求和或者求平均，记为J(θ)函数，表示所有训练数据预测值与实际类别的偏差。
损失函数：
J(θ)代价函数：
其中，x(i) 每个样本数据点在某一个特征上的值，即特征向量x的某个值，y(i) 是类别号，m 是样本对象个数。
梯度下降法含义：
梯度下降法，就是利用负梯度方向来决定每次迭代的新的搜索方向，使得每次迭代能使待优化的目标函数逐步减小。梯度其实就是函数的偏导数。
这里对用梯度下降法对 J (θ) 求最小值，与求似然函数的最大值是一样的。则 J(θ) 最小值的求解过程：
其中 α 是步长。
则可以得出：
因为 α 是个常量，所以一般情况可以把 1/m 省去，省去不是没有用1/m ，只是看成 α 和1/m 合并成 α 。
最终式子为：
这就是一开始，我对代码中公式困惑的地方。在这里我在补充一点，以上的梯度下降法可以认为是批量梯度下降法（Batch Gradient Descent），由于我们有m个样本，这里求梯度的时候就用了所有m个样本的梯度数据。下面介绍随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）：
随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。随机梯度下降法，和4.1的批量梯度下降法是两个极端，一个采用所有数据来梯度下降，一个用一个样本来梯度下降。自然各自的优缺点都非常突出。对于训练速度来说，随机梯度下降法由于每次仅仅采用一个样本来迭代，训练速度很快，而批量梯度下降法在样本量很大的时候，训练速度不能让人满意。对于准确度来说，随机梯度下降法用于仅仅用一个样本决定梯度方向，导致解很有可能不是最优。对于收敛速度来说，由于随机梯度下降法一次迭代一个样本，导致迭代方向变化很大，不能很快的收敛到局部最优解。公式为：
到这里已经把Logistics 回归的原理推导完成。这里对以上推导做一次总结：
边界线 ——> Sigmoid 函数 ——>求向量 θ ——> P(y=1 | x ; θ) = hθ(x) —— > 似然函数 l (θ) ——> 代价函数 J (θ) ——> 梯度下降法求解向量 θ ——> 最终公式 θj
2 使用python 实现Logistic 回归
2.1 Logistic 回归梯度上升优化算法
2.1.1 收集数据和处理数据
1 # 从文件中提取数据
2 def loadDataSet():
3 dataMat = [] ; labelMat =
[]
4 fr = open(
'testSet.txt')
5 for line
in fr.readlines():
# 对文件的数据进行按行遍历
6 lineArr =
line.strip().split()
7 dataMat.append([1.0, float(lineArr [0]), float(lineArr[1
])])
8 labelMat.append(int(lineArr[2]))
# 数据的类别号列表
9 return dataMat , labelMat
2.1.2 Sigmoid 函数
1 # 定义sigmoid 函数
2 def sigmoid(inX):
3 return longfloat( 1.0 / (1 + exp(-inX)))
使用longfloat() 是为防止溢出。
2.1.3 批量梯度上升算法的实现
1 # Logistic 回归梯度上升优化算法
2 def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
3 dataMatrix = mat(dataMatIn)
# 将数列转化成矩阵
4 labelMat = mat(classLabels).transpose()
# 将类标号转化成矩阵并转置成列向量
5 m,n = shape(dataMatrix)
# 获得矩阵dataMatrix 的行、列数
6 alpha = 0.001
# 向目标移动的步长
7 maxCycles = 500
# 迭代次数
8 weights = ones((n ,1))
# 生成 n 行 1 列的 矩阵且值为1
9 for k
in range(maxCycles):
10 h = sigmoid(dataMatrix*weights)
# dataMatrix*weights 是 m * 1 的矩阵，其每一个元素都会调用sigmoid()函数，h 也是一个 m * 1 的矩阵
11 error = (labelMat - h)
# 损失函数
12 weights = weights + alpha + dataMatrix.transpose()* error
# 每步 weights 该变量
13 return weights.getA()
解释第 13 行代码：矩阵通过这个getA()这个方法可以将自身返回成一个n维数组对象 ，因为plotBestFit()函数中有计算散点x,y坐标的部分，其中计算y的时候用到了weights，如果weights是矩阵的话，weights[1]就是[0.48007329]（注意这里有中括号！），就不是一个数了，最终你会发现y的计算结果的len()只有1，而x的len()则是60。
2.2 根据批量梯度上升法分析数据：画出决策边界
1 # 对数据分类的边界图形显示
2 def plotBestFit(weights):
3 import matplotlib.pyplot as plt
4 dataMat,labelMat=
loadDataSet()
5 dataArr =
array(dataMat)
6 n = shape(dataArr)[0]
# 数据的行数，即对象的个数
7 xcord1 = []; ycord1 = []
# 对类别号为 1 的对象，分 X 轴和 Y 轴的数据
8 xcord2 = []; ycord2 = []
# 对类别号为 0 的对象，分 X 轴和 Y 轴的数据
9 for i
in range(n):
# 对所有的对象进行遍历
10 if int(labelMat[i])== 1:
# 对象的类别为：1
11 xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2
])
12 else:
13 xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2
])
14 fig =
plt.figure()
15 ax = fig.add_subplot(111
)
16 ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c=
'red', marker=
's')
# 对散点的格式的设置，坐标号、点的大小、颜色、点的图形（方块）
17 ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c=
'green')
# 点的图形默认为圆
18 x = arange(-3.0, 3.0, 0.1
)
19 y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
# 线性方程 y = aX + b,y 是数据第三列的特征，X 是数据第二列的特征
20 ax.plot(x, y)
21 plt.xlabel(
'X1'); plt.ylabel(
'X2')
22 plt.show()
运行结果：
有结果效果图可知，边界线基本可以对样本进行较好的分类。
2.3 利用随机梯度上升法训练样本
1 # 随机梯度上升法
2 def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels, numIter=150
):
3 m,n =
shape(dataMatrix )
4 weights =
ones(n)
5 for j
in range(numIter):
# 迭代次数
6 dataIndex = range(m)
#
7 for i
in range(m):
# 对所有对象的遍历
8 alpha = 4/(1.0+j+i)+0.01
# 对步长的调整
9 randIndex = int (random.uniform(0,len(dataIndex)))
# 随机生成一个整数，介于 0 到 m
10 h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
# 对随机选择的对象计算类别的数值（回归系数值）
11 error = classLabels[randIndex] - h
# 根据实际类型与计算类型值的误差，损失函数
12 weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
# 每步 weights 改变值
13 del(dataIndex [randIndex])
# 去除已经选择过的对象，避免下次选中
14 return weights
在随机梯度上升法求解的 θ ，对样本进行分类，并画出其边界线，运行的结果图：
利用随机梯度上升法，通过150 次迭代得出的效果图和批量梯度上升法的效果图差不过，但随机梯度的效率比批量梯度上升法快很多。
3 实例：从疝气病症预测病马的死亡率
3.1 未知对象的预测
1 # 对未知对象进行预测类别号
2 def classifyVector(inX , weights):
3 prob = sigmoid(sum(inX * weights))
# 计算回归系数
4 if prob > 0.5
:
5 return 1.0
6 else:
7 return 0.0
3.2 样本数据和测试函数
1 # 实例：从疝气病预测病马的死亡率
2 def colicTest():
3 frTrain = open(
'horseColicTraining.txt'); frTest = open(
'horseColicTest.txt')
# 数据文件
4 trainingSet = []; trainingLabels = []
# 样本集和类标号集的初始化
5 for line
in frTrain.readlines():
6 currLine = line.strip().split(
'\t')
# 根据制表符进行字符串的分割
7 lineArr =
[]
8 for i
in range(21
):
9 lineArr.append(float(currLine[i]))
10 trainingSet.append(lineArr)
11 trainingLabels.append(float(currLine[21
]))
12 #trainWeights = stocGradAscent0(array(trainingSet), trainingLabels, 500) # 通过对训练样本计算出回归系数
13 trainWeights = gradAscent(array(trainingSet), trainingLabels)
# 通过对训练样本计算出回归系数
14 errorCount = 0; numTestVec = 0.0
# 错误个数和错误率的初始化
15 # 预测样本的遍历
16 for line
in frTest.readlines():
17 numTestVec += 1.0
18 currLine = line.strip().split(
'\t')
19 lineArr =
[]
20 for i
in range(21
):
21 lineArr.append(float(currLine[i]))
22 if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
# 预测的类别号与真实类别号的比较
23 errorCount += 1
24 errorRate = (float(errorCount)/
numTestVec)
25 print u
'本次测试的错误率是; %f' %
errorRate
26 return errorRate
3.3 预测结果函数
1 # 预测结果函数
2 def multiTest():
3 numTests = 10; errorSum = 0.0
4 for k
in range(numTests):
5 errorSum +=
colicTest()
6 print u
'经过 %d 次测试结果的平均错误率是： %f ' % (numTests ,errorSum /float(numTests))
利用随机梯度上升法训练的样本集，测试结果：
利用批量梯度上升法训练的样本集，测试结果：
附 完整程序
1 # coding:utf-8
2 from numpy
import *
3
4 # 从文件中提取数据
5 def loadDataSet():
6 dataMat = [] ; labelMat =
[]
7 fr = open(
'testSet.txt')
8 for line
in fr.readlines():
# 对文件的数据进行按行遍历
9 lineArr =
line.strip().split()
10 dataMat.append([1.0, float(lineArr [0]), float(lineArr[1
])])
11 labelMat.append(int(lineArr[2]))
# 数据的类别号列表
12 return dataMat , labelMat
13
14 # 定义sigmoid 函数
15 def sigmoid(inX):
16 return longfloat( 1.0 / (1 + exp(-
inX)))
17
18 # Logistic 回归批量梯度上升优化算法
19 def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
20 dataMatrix = mat(dataMatIn)
# 将数列转化成矩阵
21 labelMat = mat(classLabels).transpose()
# 将类标号转化成矩阵并转置成列向量
22 m,n = shape(dataMatrix)
# 获得矩阵dataMatrix 的行、列数
23 alpha = 0.001
# 向目标移动的步长
24 maxCycles = 500
# 迭代次数
25 weights = ones((n ,1))
# 生成 n 行 1 列的 矩阵且值为1
26 for k
in range(maxCycles):
27 h = sigmoid(dataMatrix*weights)
# dataMatrix*weights 是 m * 1 的矩阵，其每一个元素都会调用sigmoid()函数，h 也是一个 m * 1 的矩阵
28 error = (labelMat - h)
# 损失函数
29 weights = weights + alpha + dataMatrix.transpose()* error
# 每步 weights 该变量
30 return weights.getA()
31
32 # 对数据分类的边界图形显示
33 def plotBestFit(weights):
34 import matplotlib.pyplot as plt
35 dataMat,labelMat=
loadDataSet()
36 dataArr =
array(dataMat)
37 n = shape(dataArr)[0]
# 数据的行数，即对象的个数
38 xcord1 = []; ycord1 = []
# 对类别号为 1 的对象，分 X 轴和 Y 轴的数据
39 xcord2 = []; ycord2 = []
# 对类别号为 0 的对象，分 X 轴和 Y 轴的数据
40 for i
in range(n):
# 对所有的对象进行遍历
41 if int(labelMat[i])== 1:
# 对象的类别为：1
42 xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2
])
43 else:
44 xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2
])
45 fig =
plt.figure()
46 ax = fig.add_subplot(111
)
47 ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c=
'red', marker=
's')
# 对散点的格式的设置，坐标号、点的大小、颜色、点的图形（方块）
48 ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c=
'green')
# 点的图形默认为圆
49 x = arange(-3.0, 3.0, 0.1
)
50 y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
# 线性方程 y = aX + b,y 是数据第三列的特征，X 是数据第二列的特征
51 ax.plot(x, y)
52 plt.xlabel(
'X1'); plt.ylabel(
'X2')
53 plt.show()
54
55 # 随机梯度上升法
56 def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels, numIter=150
):
57 m,n =
shape(dataMatrix )
58 weights =
ones(n)
59 for j
in range(numIter):
# 迭代次数
60 dataIndex = range(m)
#
61 for i
in range(m):
# 对所有对象的遍历
62 alpha = 4/(1.0+j+i)+0.01
# 对步长的调整
63 randIndex = int (random.uniform(0,len(dataIndex)))
# 随机生成一个整数，介于 0 到 m
64 h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
# 对随机选择的对象计算类别的数值（回归系数值）
65 error = classLabels[randIndex] - h
# 根据实际类型与计算类型值的误差，损失函数
66 weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
# 每步 weights 改变值
67 del(dataIndex [randIndex])
# 去除已经选择过的对象，避免下次选中
68 return weights
69
70 # 对未知对象进行预测类别号
71 def classifyVector(inX , weights):
72 prob = sigmoid(sum(inX * weights))
# 计算回归系数
73 if prob > 0.5
:
74 return 1.0
75 else:
76 return 0.0
77
78 # 实例：从疝气病预测病马的死亡率
79 def colicTest():
80 frTrain = open(
'horseColicTraining.txt'); frTest = open(
'horseColicTest.txt')
# 数据文件
81 trainingSet = []; trainingLabels = []
# 样本集和类标号集的初始化
82 for line
in frTrain.readlines():
83 currLine = line.strip().split(
'\t')
# 根据制表符进行字符串的分割
84 lineArr =
[]
85 for i
in range(21
):
86 lineArr.append(float(currLine[i]))
87 trainingSet.append(lineArr)
88 trainingLabels.append(float(currLine[21
]))
89 trainWeights = stocGradAscent0(array(trainingSet), trainingLabels, 500)
# 通过随机梯度上升法计算回归系数
90 #trainWeights = gradAscent(array(trainingSet), trainingLabels) # 通过批量梯度上升法计算出回归系数
91 errorCount = 0; numTestVec = 0.0
# 错误个数和错误率的初始化
92 # 预测样本的遍历
93 for line
in frTest.readlines():
94 numTestVec += 1.0
95 currLine = line.strip().split(
'\t')
96 lineArr =
[]
97 for i
in range(21
):
98 lineArr.append(float(currLine[i]))
99 if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
# 预测的类别号与真实类别号的比较
100 errorCount += 1
101 errorRate = (float(errorCount)/
numTestVec)
102 print u
'本次测试的错误率是; %f' %
errorRate
103 return errorRate
104
105 # 预测结果函数
106 def multiTest():
107 numTests = 10; errorSum = 0.0
108 for k
in range(numTests):
109 errorSum +=
colicTest()
110 print u
'经过 %d 次测试结果的平均错误率是： %f ' % (numTests ,errorSum /
float(numTests))
111
112 if __name__ ==
'__main__':
113 # 用批量梯度上升法画边界线
114 '''
115 dataSet, labelSet = loadDataSet()
116 #weights = gradAscent(dataSet, labelSet)
117 #plotBestFit(weights)
118 '''
119 # 用随机梯度上升法画边界线
120 '''
121 dataSet, labelSet = loadDataSet()
122 #weightss = stocGradAscent0(array(dataSet), labelSet )
123 #plotBestFit(weightss)
124 '''
125 # 实例的预测
126 multiTest()
View Code
转载于:https://www.cnblogs.com/pursued-deer/p/7819539.html
相关资源：Logistic回归总结（非常好的机器学习总结资料）
