参考1：https://blog.csdn.net/bumingqiu/article/details/73397812
参考2：https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/82156281
其中，为第种类别，共有种；为样本数目；
设，且服从参数为的Dirichlet分布（先验分布），则有概率质量函数（即离散变量的概率密度函数）如下：
;
（2）式可改写成：
设为各类别的观测数，有：
则根据观测数据对先验分布改进如下：
其中，，又是与无关的量，故（5）式可写为：
设服从多项分布，则有：
(7)式可改写成：
将(3)式和(8)式带入(6)式，可得：
因此得出结论，的后验概率服从参数为的Dirichlet分布：
故的期望有(Dirichlet分布期望公式):
即有：
故原式得证。
其中，表示第个样本的第维特征值，表示第维特征可取值个数,表示特征维数，表示类别数，为样本数；
参考第一个公式的证明，设：
，且服从参数为的Dirichlet分布（先验分布），则有概率质量函数（即离散变量的概率密度函数）如下：
(2)是可改写为：
设为第维度种特征值的观测数，有：
根据观测数据对(3)式进行改进如下：
其中，，又是与无关的量，故（5）式可写为：
设服从多项分布，则有：
(7)式可改写为：
将(3)式和(8)式带入(6)式，则有：
因此得出结论，的后验概率服从参数为的Dirichlet分布：
故的期望有(Dirichlet分布期望公式):
即有：
于是，原式得证。
