1. 集合论基础
（1）等价关系：集合X上的二元关系定义为的一个子集。如果它还满足反身性、对称性、传递性，则为等价关系。
商集：X的全体等价类构成的集合，
（2）笛卡尔积的一般定义：笛卡尔积中的每个元素实际上都对应一个函数，这个函数定义为。因此集族的笛卡尔积定义为下标函数的集合
（3）偏序集：集合上P附加一个偏序关系，即满足反身性、传递性、反对称性的二元关系，记作。
偏序集的同构：偏序集P和Q之间存在一个双射，并且都是保序映射，称为P,Q之间的同构。
滤过序集：偏序集上任意两个元素组成的子集都有上界。
全序集（链）：任意两个元素之间都有偏序关系（即可比较，必有）的偏序集。
良序集：每个非空子集都有极小元的偏序集。自然数集是良序集，实数集是偏序集但不是良序集。X的幂集P(X)对于包含关系是滤过序集，但一般不是全序集。
（3）集合的势：集合中元素的个数。设 ，则势 定义为 （这里A,B非交），势定义为。
主要定理：
（1）等价关系与集合划分：集合的等价关系与集合的划分之间构成双射。
（2）选择公理：由非空集构成的集族 ，若下标集合非空，则它们的笛卡尔积也是非空的，即 。
等价表示：对集族中的每个集合，都存在选择函数 ，使得对的任意非空子集S，都有
（3）Zorn引理：对非空偏序集，若A的每个链都有上界，则A必含有极大元。佐恩引理与选择公理等价。
（4）Zermelo良序定理：任意集合A都能被赋予良序，即存在一个偏序关系，使为良序集。良序定理也与选择公理等价。
良序定理的主要作用是可以将对正整数的数学归纳法推广到任意良序集上。
（5）数学归纳法：设S是自然数N的子集，。若 ，或者 ，则S=N。
（6）超限归纳法：设B是良序集 的子集，若对每个，均有 ，则B=A。
（7）递归定理：给定集合S中的某一元素a和S上的函数序列 ，则存在从自然数集到S的唯一的映射 ，使得 。
（8）除法算式：对任意整数，存在唯一的一对整数q和r，使得 。
（9）最大公约数的线性表示：任意n个整数的最大公约数都可以表示成这些整数的线性组合。即存在整数 使得
（10）算术基本定理：每个正整数n>1都可以唯一地表示成 ，其中均为素数，
（11）最大势不存在：对集合A和幂集P(A)，。特别地，对自然数集N和实数集R，有
（12）连续统假设：是否存在势大于正整数集的势，而小于实数集的势。已经证明它与选择公理和集合论其他公理是独立的。
（13）Schroeder-Bernstein定理：对集合A和B，若，并且 ，则 。
（14）三分律：集合的势之间是严格的全序关系。即下面三条恰有一个是正确的：。证明思路利用佐恩引理。
（15）集合势的性质： 是最小的无限势，即每个无限集都有可数子集。
对集合的笛卡尔积，有 。如果A是有限的则 ，如果A是无限的则
如果F(A)为无限集A的所有有限子集构成的集合，则
2. 群、环、域基础
（1）群：集合G附加上单个二元运算组成的代数结构 。
幺半群：结合律、幺元
群：结合律、幺元、逆元
交换群（Abel群）：结合律、幺元、逆元、交换律
群的阶：群中元素的个数，记作
子群：群G的子集H，在同一运算下也构成群，则H是G的子群，记作
子群陪集：设，形如 的子集称为H的左陪集（可类似定义右陪集）。左陪集是等价类。所有左陪集构成G的一个划分。
子群指数：子群H在G中的左陪集个数（即把G划分成的等价类个数），记作
生成群：G是群，M是G的子集，G中所有包含M的子群的交，称为M的生成群，记作<M>。
循环群：仅由一个元素生成的群
有限生成群：可由有限个元素生成的群。
元素的阶：群中元素a的阶o(a)定义为循环群的阶，即满足的最小正整数n。
群的方次数：所有元素的阶的最小公倍数，称为群的方次数exp(G)。
正规子群：设，若 都有aH=Ha，则称H为正规子群，记作 。H是正规子群等价于
单群：只有平凡子集{e}和群G本身是正规子群，再没有其他的正规子群，则G称为单群。
商群：正规子群的陪集在乘法下构成群，称为商群G/H，它的阶为 。
元素的共轭元：群G中元素a的共轭定义为。可见正规子群中元素的共轭是其本身。
（2）常见群：
一般线性群 ：数域K上n阶可逆矩阵全体对乘法构成群。
特殊线性群 ：数域K上n阶行列式为1的矩阵全体对乘法构成群。
正交群 / 酉群 ：n阶正交矩阵对乘法构成群。n阶酉矩阵对乘法也构成群。
全变换群S(M)：非空集合M到自身的双射全体 对乘法（即复合）构成群，称为M的全变换群。
对称群（置换群）：n个元素的有限集的全变换群。记 ，则一个双射表示一个置换，表示对n个字母的对称群，易得
图形T的对称群：T是n维欧氏空间的一个子集（即图形），将T映射成自身的正交变换全体对乘法构成群。
正多边形群（二面体群）：平面上的正n边形全体对称变换对乘法构成群。它包含n个旋转变换 ，和n个反射变换（分别沿着n条不同的对称轴），共2n个元素。
模n加法群 ：模n的剩余类 对加法构成交换群，记作。它是整数加法群Z对其子群nZ的商群。
模n乘法群：与整数n互素的数 作为代表元，构成Z模n的剩余类族 ，它对乘法构成交换群。乘法定义为。这个群包含个元素。是欧拉函数 。特别地，若n是素数，则剩余类集族为，是n-1阶乘法群。是中所有乘法可逆元组成的集合，因此也称为的单位群。
（3）置换：中的元素叫做置换，一个置换用 表示，它表示对字母集做一个长为r为轮换，即 ，剩下的其他元素则映到自身。长度为2的也叫对换。1-轮换表示恒等置换。
元素的阶：显然一个r-轮换是r阶元素。
偶置换：可以分解成偶数个对换之积的置换。
奇置换：可以分解成奇数个对换之积的置换。
置换的非交：置换是非交的，当且仅当字母集中没有元素被中多于一个置换所移动。
（4）群同态/群同构：群同态是保持运算结构的映射，即。若该映射还是双射，则为群同构，记为
自同态幺半群：群G的所有自同态映射组成的集合End(G)，它是幺半群
自同构群：群G的所有自同构映射组成的群Aut(G)
群同态是单射的等价条件：等价于同态的核中只有一个元素，即{0}
（5）典范同态（正则同态/正则射影）：若，则映射 称为G到G/H的典范同态，它是满的，并且。典范同态是为了在群和商群之间建立关系，把研究群转化成研究商群。
（6）群的左平移：群G上的映射 称为由a引起的左平移，记作L(a)。它是一个双射。
群的正则表示：群G的左平移全体构成G上的全变换群S(G)的子集，记作L(G)，它是一个变换群，称为G的左正则表示。
（7）群的直和：设 是群，在笛卡尔积 上定义运算为按分量进行 ，则 在此运算下构成群，称为内直和，记作。它有两个常用的正规子群 ，并且有 。直和的定义可推广到有限多个群。
（8）群的直积：设 是群序列，G为集合的笛卡尔积，在G上定义运算为按分量进行，所得群称为 的外直积，记作 。群G的子集（其中，除有限多个i外都有）构成 的子群，称为 的外直和，记作 。易见当I为有限集时，直和与直积是同一个概念。
（9）环：集合R上附加两个运算组成的代数结构 。
环：加法交换群（结合律、幺元、逆元、交换律）、乘法结合律、分配律，共6条公理
交换环：满足乘法交换律的环
幺环：含乘法幺元的环
零环：只含有一个元素（必为0）的环
子环：环R的子集S，在环的两个运算下也构成环，记作 。
逆元：幺环中的元素a若有逆元（ba=ab=1），则b为a的逆元，记为。幺环的可逆元全体构成乘法群，记作 。
零因子：存在 使得 ba=0或ab=0，则称a是R中的一个零因子。幺环的零因子不是可逆元。
整环：无零因子的交换幺环（共9条公理）。无零因子的限制是为了满足消去律，消去律与无零因子是等价的概念。
除环（体）：每个非零元都有逆元的幺环称为体，即加法交换群+非零元乘法群+分配律。注意体不一定满足乘法交换律，例如Hamliton四元数体。
单环：没有非平凡理想的环
常用环：整数环 、一元多项式环、多元多项式环、域K上的全矩阵非交换环
（10）理想：设是环，若子集I是R的加法子群，并且具有左右吸收性，即 ，则I为环R的理想。显然左（右）理想都是子环。
生成理想：R是群，M是R的子集，R中所有包含M的子理想的交，称为M的生成理想，记作(M)
主理想：可由一个元素a生成的理想
有限生成理想：可由有限多个元素生成的理想
幂零元：存在正整数n，使得 ，则a为幂零元
幂零根（小根）：交换环的全体幂零元集合，它是一个理想
交换幺环的根理想：I是交换幺环R的理想，称为I的根理想
（11）商环：设I是环R的理想，在I的加法陪集集合 上定义加法和乘法运算 ，构成商环，记作 。元素r+I称为模I同余类
（12）环同态/环同构：环同态是保持环运算结构的映射，即 。若即是单射又是满射，则称为环同构，记作 。反同态：将环同态中的 改为 ，类似地有反同构
典范同态：，是一个满同态
自同态环：在交换群G的自同态集End(G)上定义加法和复合运算 ，则 构成群G的自同态环
环同态是单射的等价条件：等价于同态的核中只有一个零元素，即{0}
（14）环的直积与直和：可与群的直积和直和相类似地定义。
（15）域：每个非零元都有逆元的交换幺环，记作。即加法交换群+非零元乘法交换群+分配律（共9条公理）。
域扩张：若E是域，，且F在E的运算下也是域，则F是E的子域，E是域F的扩域。
有限域（Galois域）：域中含有限个元素。元素个数为称为域的阶。
（16）有理分式域： 与 是数域P的两个n元多项式，分式 （只需考虑不可约分式即可）称为P上的有理分式（有理函数）。数域P上的有理分式的和、差、积、商（除式不为零）仍为P上的有理分式，它构成P上的有理分式域，记作 。有理分式域是包含多元多项式环的最小域。有理数域Q上的一元有理分式域记作 。
（17）代数数域：n次有理系数多项式 在复数域中的零点称为代数数。这与用一元有理分式的零点（就是分式中分子多项式的零点）来定义是等价的。设是一个n次有理分式 的零点，所有形如 的数（其中为有理数）构成的集合，对和、差、积、商是封闭的，构成一个域，这就是有理数域Q添加所得的单扩张，记作 ，称为代数数域 。代数数域可写作
可以证明对Q的任何有限扩张 （其中是代数数），均可找到一个代数数使得 ，因此只要考虑单扩张即可
（18）p-进绝对值：设p为素数，对任一有理数 ，a可写成 的形式，则 称为a的p-进绝对值。并且定义 。p-进绝对值度量满足正定性、、强三角不等式
（19）p-进数域：p-进绝对值满足通常绝对值的所有性质，是一种度量结构。这样可以像从有理数出发定义实数一样，定义Q在p-进绝对值度量下的完备化。
p-进Cauchy序列：对任意，存在正整数N，使得对任意，恒有
在所有p-进Cauchy序列组成的集合S上定义等价关系 为，当且仅当作对任意 ，存在正整数N，使得时恒有 。用代表元定义等价类集合上的加法和乘法运算
这样也是域，它就是p-进数域，记为 。的一个完全代表系为
即任意一等价类中都含有T中唯一一个元素。这样T中的每个元素对应一个无穷级数 。因此p-进数域可以写成
（20）p-进赋值：对p-进数域中的元素进行赋值。对 ，定义a的p-进赋值为t，记为。p-进赋值满足性质 ，强三角不等式
（21）赋值环（p-整数环）：对p-进数域，环 称为的赋值环。
赋值理想：，称为的赋值理想
剩余域： 称为的剩余域。K是p元有限域
（22）Hamilton四元数体：四元数体H是由矩阵环 中形如的元素组成的子集，每个非零矩阵都有逆矩阵。使用复数的代数形式 ，四元体可表示成 。它是实数域上的四维线性空间
（23）域的特征：环的加法交换群中元素最大阶，称为环的特征。特别地对域F，元素1的阶，即使得 最小正整数n，就是域F的特征，记作char(F)，若不存在这样的正整数，则F的特征为0。域的特征若不为0，则必须素数。
主要定理：
（1）子群的结构：群同态的核是正规子群，像是子群。子群族的交是子群。由子集生成的子群是全体有限乘积 所构成的集合。特别地对每个，。
（2）循环群的结构：每个无限循环群同构于整数加法群，每个m阶有限循环群同构于模m同余类的加法群 。对无限循环群 ，只有a和是G的生成元。对m阶有限循环群 ，是G的生成元的充要条件是(a, k)=1。
（3）对称群的结构：中的任意一个非幺元的元素都可以唯一地分解成不相交的置换的乘积。特别地，任一置换都可以分解为对换的乘积。的全体偶置换构成的集合是的正规子群，并且它的阶为 ，它是的唯一指数为2的子群。称为n级交错群。
（4）正多边形群的结构：对每个，正多边形群是对称群的子群，它是2n阶群，并且生成元a和b满足。反之任意群G如果由满足前述条件的元素a,b生成，则必同构于。
（5）Lagrange定理：对有限群G及其子群H，有 。特别地，G中任意一个元素的阶o(a)都能整除G的阶|G|，于是，并且素数阶群一定是循环群。
拉格朗日定理揭示了子群阶与父群阶的关系。证明思路H与它任意一左陪集之间存在双射 （验证它既是单射又是满射），左陪集是等价类，所有左陪集的无交并构成G。因此左陪集个数乘以左陪集中元素个数即|H|即为|G|。
拉格朗日定理的一些应用：
(a) 欧拉定理：n,a为正整数且互素，则 ，因为群 就是
(b) 费马小定理：p是素数，对任意整数a，有 ，费马小定理是欧拉定理的特殊情形
(c) 威尔逊定理：p为素数，当且仅当
(d) 4阶群的个数（同构意义下）：只有2个，一个是4阶循环群，一个是4阶非循环的Abel群 ，称它为Klein群
（6）群同态基本定理：若 是群同态，则 ，即同态核的商群同构于同态像
利用同态基本定理可推导出一些群是同构的。首先要在两个群之间建立一个合适的映射，证明它是满同态，然后去求同态的核，根据定理得出同太像同构于商群
第一同构定理：对G的两个正规子群 ，有
第二同构定理：对G的一子群和一正规子群 ，有
（7）Cayley定理：任一群都同构于某一集合上的变换群。特别地，|G|=n时，G必同构于对称群的一个子群。
该定理说明，任何一个群本质上都是变换群（对无限群而言）或对称群（对有限群而言）
（8）直和等价条件：设G是群，，则映射 是同构，等价于G的任一元素表为H,K元素乘积的表示法唯一。等价于G的幺元表为H,K元素乘积的表示法唯一。等价于 。
（9）子环性质：子环的交仍是子环。理想的交与和仍是理想。环同态的核是理想，像是子环。
（10）环同态基本定理：若 是环同态，则 ，即同态核的商环同构于同态像
第一同构定理：对环R的两个理想 ，有
第二同构定理：对环R的理想I，和子环S，有
（11）域的结构：特征为0的域必含有与Q同构的子域，特征为p>0的域必含有与 同构的子域。Q和 称为素域。这说明任何一个域都是某个素域的扩张。
（12）有限域的阶：每个有限域的阶必为素数的幂，因此有限域也记作
3. 群论进阶
（1）群的中心：群中能与其他元素交换的元素组成的集合，即 ，它是G的正规子群
元素的中心化子：能与元素y交换的元素全体组成的集合，即，它是G的子群
子集的中心化子：S为群G的子集，能与S的所有元素都交换的元素组成的集合，即 。它是G的子群
子集的正规化子：对子集保持共轭封闭的所有群元素组成的集合，即 。它是G的子群，并且是的正规子群
（2）换位子群（导群）：由群G的所有换位子生成的子群，记作。是G的正规子群，并且是交换群。
换位子：元素 称为a和b的换位子，记作[a,b]
n级换位子群：规定，对n>1，递归定义为G的n级导群
换位子群的作用：换位子群是使得商群成为交换群的最小正规子群。即，则G/H是交换群的充要条件是
（3）可解群：存在一个其商群皆为Abel群的正规列。即存在正规列 ，满足 都是交换群。
可解群等价定义1：存在正规列 ，满足 都是素数阶循环群。
可解群等价定义2：对群G，若存在正整数n，使得G的n级换位子群为幺元平凡群，即，则G为可解群
可解群的概念产生于描述其根可以只用根式表示的多项式所对应的自同构群所拥有的性质，即多项式方程有根式解的性质。若限制在有限生成群中，则有下列的排序：
循环群 < 阿贝尔群 < 幂零群 < 超可解群 < 多重循环群 < 可解群 < 有限生成群
（4）群的内自同构（共轭变换）：一类特殊的自同构，即映射 ，也称为g引起的共轭变换
内自构群：群G的全体内自同构映射组成的群，记作Inn(G)。它是自同构群Aut(G)的正规子群，并且同构于群中心的商群，即
外自同构群：称为G的外自同构群。中的自同构，称为G的外自同构
（5）群的作用：设G是一个群，S是一个集合，映射 若满足 ，则称为G在S上的一个作用。群作用是将G中的元素看作映射把S映射到S，它是一个双射。因此也可以将G在S上的作用定义为从G到S的对称群的群同态
轨道：在S上定义等价关系 表示存在使得，在此等价关系下的一个等价类称为一个轨道，以元素作为代表元，其轨道记作，轨道是划分S的一个等价类。轨道中元素个数称为轨道长度 。所有轨道构成集合S的一个划分，因此有
，其中 是所有轨道的完全代表系
（6）稳定子群：设群G作用在S上，若g(s)=s，称为的一个不动点。使s为不动点的所有群作用元素构成的集合 ，称为s的稳定子群，即Stab(s)中的每个元素保持s不动。
不动点集：在作用下保持不变的不动点集合，记作
同一轨道中各元素的稳定子群是互相共轭的，即
（7）群的共轭作用：群G到自身的作用 ，的轨道为 ，称为x的共轭类，记作，共轭类是x的所有共轭元构成的集合。共轭作用的核等于群的中心Z(G)。在共轭作用下元素x的稳定子群等于其中心化子 。
群的类方程：群G的阶等于所有共轭类的基数之和，即 ，这就是群G的类方程
（8）Sylow p子群：有限群G中阶为素数的方幂的子群，即阶子群，p为素数，整除。
（9）群的合成列：群G中存在一个正规列 ，满足 都是单群，则称为G的一个合成列。每个商群 称为一个合成因子，s称为合成长度。
合成列是借着将代数对象（如群、模等）拆解为简单的成分，以萃取不变量的方式之一
（10）升链条件/降链条件：对无限群G的子群（或正规子群）链 ，总可找到正整数k，使得，称为升链条件。对无限群G的子群（或正规子群）链 ，总可找到正整数k，使得，称为降链条件。
极大条件/极小条件：对无限群G的所有子群组成的集合S，若S中总存在极大元素M（即S中的其他元素都是M的子群），称为极大条件。若S中总存在极小元素M（即S中的其他元素都不是M的子群），称为极小条件。
升链条件和极大条件等价，降链条件和极小条件等价。
（11）自由群：存在自由生成元集的群G，称为自由群。
自由生成元集：设X是群G的一个生成元集，如果对任意互不相等的，都有 ，其中 是任意非零整数，则称X为群G的一个自由生成元集
（12）字：集合X上的任意一个有限长序列，其中
空字：长度为0的字
字相等：两个字的各个对应分量相等，并且长度相等
字的连接：由集合X中的元素组成的字的全体记作X上的字集，定义字的乘法为字的连接，则构成幺半群，空字为幺元
字相邻：为使字有逆元，考虑有相同基数的两个不相交集合的并，字集中的两个字，如果一个形如，另一个形如或形如，则称这两字相邻
字等价：两个字等价，如果存在有限多个字，使得，并且与相邻。这个关系是上的一个等价关系。定义等价类的乘法为，则商集 构成群。
X生成的自由群：等价类集合 称为集合X生成的自由群，记作F(X)
不可约字：字集中的字如果形如 或 ，则称该字是可约的，否则为不可约的。中的每个字都等价于唯一的一个不可约字
（12）正交变换：以三维欧氏空间为例，是线性映射 ，并且变换保持任意两点间的距离不变，即该变换的矩阵行列式为 。如果，则 是绕原点的旋转。
正交变换群：全体正交变换组成的群，记作 ，或简记作 。行列式为1的正交换即旋转变换的全体组成的指数为2的正规则子群，记作
正多面体旋转变换群：是由三维欧氏空间中所有把该正多面体变到自身的旋转变换组成的群。这与对称群不同，对称考虑考虑所有正交变换（其中包括反射变换），这里只考虑旋转变换。正多面体旋转群在物理、化学、生物、晶体学中有应用
有限旋转群：的有限子群
主要定理：
（1）循环群的结构：无限循环群必同构于整数加法群Z，有限m阶循环群必同构于整数加法群的商群
证明思路考虑满同态 ，分析出 ，再运用同态基本定理
（2）循环群的子群结构：循环群 的子群仍是循环群。无限循环群Z的子群除以外都是无限循环群，且Z的子群与非负整数一一对应，即每个 对子群 。有限m阶循环群的子群与m的因子一一对应，即m的每个正因子d对应于d阶子群
（3）模m乘法群是循环群的充要条件：模m乘法群 是循环群，当且仅当m为下列情形之一：，其中p是奇素数，r是正整数
（4）有限Abel群的性质：有限交换群中的元素a,b，若o(a)与o(b)互素，则o(ab)=o(a)o(b)。有限交换群中存在一个元素，其阶是群的方次数，即所有元素的阶的最小公倍数。有限交换群是循环群的充要条件是对任意一整数m， 在G中最多有m个解。
（5）有限Abel群结构定理：
(a) 对n阶有限Abel群G，，则有 ，其中 为一组整数，满足 。即有限交换群可以唯一地表示为一系列素数阶循环群的直和。所有的这些称为G的初等因子。
(b) 对n阶有限Abel群G，存在唯一的一组正整数 满足整除关系 ，且 ，使得G可以表示为 ，这些称为G的不变因子。
(c) 两个有限Abel群同构，当且仅当他们的初等因子相同。这表明初等因子是所有有限Abel群在同构关系下的完全不变量。
（6）有限生成的Abel群结构：两个有限生成的Abel群同构，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩。
（7）单群的结构：任意素数阶群必是循环群，并且也是单群。但单群不一定都是素数阶的，如果单群是Abel群则必是素数阶的，即Abel群G是单群当且仅当G是素数阶循环群。对于非交换群，交错群当时是单群。可见是最小的非交换单群，这恰恰是五次以上方程没有求根公式的原因。
有限单群分类定理：全部有限单群分成以下四大类
(a) 素数阶循环群，它包括了所有的交换单群
(b) 时的交错群（n个文字的所有偶置换构成的群），都是非交换单群
(c) Lie型单群，共16族，包括施瓦莱群共9族（有限域上某些典型群/例外群）、扭群共7族
(d) 26个散在单群
（8）可解群的结构：可解群的子群、商群、同态像都是可解群。两个可解群的直积也是可解群。H及G/H为可解的，则G也是可解的。
一些可解群类别：
(a) 交换群、幂零群、有限p-群（因为它幂零群）、单群的外自同构群
(b) 对称群（对应一次、二次、三次、四次方程的伽罗瓦群，其中是非幂零的可解群）
(c) 小于60阶的群（因为的阶为5!/2=60，是最小的非交换单群）
(d) Burnside可解群：所有形如阶的群都是可解群，其中p,q为素数，m,n是自然数（含0）
(e) Feit-Thompson定理（奇数阶定理）：每个奇数阶的群都是可解群。特别地若一有限群为单群，则其必为素数阶循环群或是偶数阶的，非交换单群都是偶数阶的。
一些不可解群类别：
(a) 所有 的对称群（的一个正规列为，而是最小的非交换单群，因此不可解，n>5时情况也类似）
(b) 所有非交换单群
（9）轨道-稳定子定理：对群作用 ，轨道长度等于其稳定子群的指数，即有轨道公式 。特别地当G为有限群时，有 ，即每一条轨道长度都是G的阶的因子。
当S是有限集时，有
其中 是所有轨道的完全代表系
（10）Burnside引理：对有限群的群作用 ，S在群作用下的轨道条数为
，即群G每个元素的不动点集基数之和，除以G的阶。
（11）群的类方程：考虑共轭作用，元素的稳定子群就是其中心化子，群G的类方程可化简为
这里Z(G)是群G的中心，是所有共轭类的完全代表系，而是非中心元素共轭类的代表元
它要表达的意思是，群的阶可以分解为群中心的阶，加上每个非中心元素共轭类的中心化子指数之和
（12）第一Sylow定理：设G是阶为 的有限群，p为素数，，对每个 ，G中含有阶子群，并且每个阶子群是某个阶子群的正规子群
（13）第二Sylow定理：设G为有限群，是G的两个Sylow p子群，则存在，使得，即一个Sylow p子群必包含于另一个Sylow p子群的某个共轭子群中。由此可知，有限群的所有Sylow p子群两两互相共轭，它们在G的内自同构映射下形成传递关系
（14）第三Sylow定理：有限群G的Sylow p子群个数m是 的因子，并且
Sylow定理的一些应用例子：不存在12、30、36、56、148阶的单群。8阶群只有5种不同构的类型：，其中是正4边形群，是四元数乘法群
（15）Schreier定理：有限群G的任意一个正规列 都可加细为合成列。由此可见，有限群必有合成列。
（16）Jordan-Holder定理：任一有限群的所有合成列长度皆相等，并且它们对应的合成因子（不计顺序）是同构的。
例如12阶循环群，它具有三个相异的合成列
：合成因子为
：合成因子为
：合成因子为
它们的对应合成因子（不计顺序，其间只相差一个置换）是同构的
定理表达的意思是，有限群G的任一合成列的合成因子组（不计顺序）在同构意思下是由G唯一确定的，与合成列的选取无关，因此也称为G的合成因子组，它由一组非平凡的单群组成。可见单群类似于整数中的素数，是搭成有限群的“积木块”。
（17）无限群存在合成列的充要条件：无限群G存在合成列的充要条件是G的正规列 满足升链条件，并且G的正规列 满足降链条件。
（18）自由群的结构：由一个元素生成的自由群是无限循环群。由两个或两个以上元素生成的自由群F(X)一定是非Abel群。自由群F(X)的每个非幺元都是无限阶元素。任何一个群是某个自由群的同态像，从而任何一个群都同构于某个自由群的商群
（19）自由群的万有性质（投影性质）：自由群F到群G有同态 ，群H到群G有满同态 ，则必存在自由群F到群H的同态，使得
（20）正多面体旋转群：互为对偶的正多面体的旋转变换群是同构的。正四面体自对偶，正六面体与正八面体互为对偶，正十二面体与正二十面体互为对偶。正四面体旋转群同构于12阶交错群、正六面体旋转群同构于24阶对称群、正十二面体旋转群同构于60阶交错群
（21）有限旋转群：的有限子群。有限旋转群只有以下几种互不同构类型：12阶的交错群、24阶的对称群、60阶的交错群
4. 环论进阶
（1）理想互素：设I和J是幺环R的理想，若I+J=R，则称理想I与J互素。
理想的积：I和J是环R的理想，则包含 的所有理想的交为I与J的积，记作IJ。易见
（2）理想的模同余类：设I是环R的一个理想，对于 ，若 ，则称a与b模I同余，记作
（3）素理想：设P为环R的理想，，若对任意 ， 蕴含 或 ，则称P为R的素理想
极大理想：M是环R的理想，且，对R的任意理想I， 蕴含I=R，则称M为R的极大理想
（4）分式域：设R是整环，即无零因子的交换幺环。F是域，若存在R到F的单的环同态，满足F中的每个元素都可以表示成 的形式，其中 ，则F称为整环R的分式域
常见的分式域：整数环Z的分式域即有理数域Q、多项式整环F[x]的分式域
（5）整环中的整除：在整环R上，元素的整除关系、因子、倍子、公因子、公倍子，与整数中的定义类似。一般而言，整环中一些元素的最大公因子和最小公倍子不一定存在
相伴：若 且 ，则称a与b相伴，记作。相伴关系是R上的一个等价关系。 等价于R中存在可逆元u，使得a=bu。
真因子：b整除a但a不整除b，即b是a的因子但不是a的相伴元，则b是a真因子。可逆元没有真因子，因为可逆元是R的任一元素的因子
平凡因子：a的所有相伴元，和R中的所有可逆元都是a的因子，它们称为a的平凡因子。其他因子称为a的非平凡因子
不可约元：对非零的不可逆元a，若只有平凡因子则称a是不可约的，否则称a是可约的。不可约的意思表示它因子最少（只有平凡因子），不可约元的相伴元也是不可约元
不可约元的等价定义：若任意的a=bc，都蕴含b是可逆元或c是可逆元，则a是不可约元
素元：对非零的不可逆元a，若对任意 ，都蕴含或，则称a为素元。素元一定是不可约元，但不可约元不一定是素元
整除概念翻译成用理想来描述：
：等价于 ，等价于
：等价于
a可逆：等价于
a是素元：等价于(a)是素理想
（5）复数在整数上生成的子环：复数t在整数环的子环为 ，它是复数环的子环
（6）唯一因子分解整环（高斯整环）：非零不可逆元可以分解为有限多个不可约元乘积（称为因子链条件），并且分解方式在相伴意义下是唯一的，则称为高斯整环。分解方式唯一是指若有两个因子分解方式，则必有n=m，且不可约元适当调换顺序后可以全部形成相伴关系。高斯整环简写为UFD。
（7）欧几里德整环：能够进行带余除法的整环。设R是整环，若存在到自然集N的一个映射d，满足对任意的 ，存在 ，使得 ，其中或
一些欧几里德整环：整数环Z，域F上的一元多项式环F[x]、高斯整数环
（8）主理想整环：所有理想都是主理想的整环，记作PID。
（9）整环上的多项式环：跟域F上的一元多项式环、多元多项式环定义类似。记作 。它们都是整环。
（10）本原多项式：对非零次多项式 ，若各项系数的最大公因子 ，则f(x)称为R[x]中的本原多项式。
多项式的容度：即各项系数的最大公式子，记作c(f(x))。有
（11）幂级数环：系数在域K中的形式幂级数 全体在加法和乘法下构成一个环，称为K上的一元形式幂级数环，记作K[[x]]。幂级数环是主理想整环
（12）代数整数环：设K是代数数域，K中的元素a称为代数整数，如果a是一个首项系数为1的整系数多项式的零点。K中的代数整数全体构成一个环
（13）Noether环：每一条理想升链 都是有限的，并且是交换环。主理想整环都是诺特环，域是诺特环
主要定理： （1）生成理想的结构：子集M的生成理想 ，其中求和号是有限求和
若R是幺环：
若R是交换幺环：
（2）理想的性质：若I,J是环R的理想，则I+J, IJ都是理想，并且。若理想都与J互素，则也与J互素。若理想I,J互素，则 。
（3）中国剩余定理：若 是幺环R的两两互素的理想，则 ，如果R是交换幺环，则其中的 可以用 代替。
（4）数论中的中国剩余定理：设整数 两两互素，则一元线性同余方程组
有解。通解的构造方法：
设 是 的乘积， 是除以外的n-1个整数乘积。设 为 模 下的的逆元，即 ，则方程组的通解形式为
在模M的意义下，方程组只有一个解
（5）极大理想的存在性：幺环中必存在极大理想。
（6）素理想的作用：对环R，P是素理想当且仅当商环R/P是整环。P是极大理想当且仅当商环R/P是域。特别地，交换幺环的极大理想必是素理想。
（7）多项式环的理想：域F上的一元多项式环F[x]的每一个理想都是主理想，其中非(0)的主理想可以由首项系数为1的多项式生成。次数大于0的多项式p(x)是不可约多项式，当且仅当主理想(p(x))是F[x]的极大理想。
对环F[x]中的理想M，商环 是域，等价于M是不可约多项式p(x)生成的主理想，即 。这样给定一个不可约多项p(x)，就可以构造域 。
（8）分式域的唯一性：设R是一个整环，则存在R的分式域，并且在环同构意义下，R的分式域是唯一的。
通过整环构造分式域的方法：
令为二元组(a,b)组成的集合，记 。在S上定义一个等价关系 ，当且仅当 ，记 为等价类的集合， 为(a, b)的所在的等价类（即值等于(a,b)的所有分数的集合），类似于有理数的加法乘法，在 定义加法和乘法
在此二运算下构成域，它是R的分式域。R与 的子集 之间是双射，因此R可看作是其分式域的子环
（9）整除的一些性质：在整环R中，若，则 。如果每一对元素都有最大公因子，则每一个不可约元必是素元，并且有 。
（10）唯一因子分解整环：整环R是唯一因子分解整环的充要条件是R满足因子链条件，并且R中的每个不可约元都是素元。UFD中的每一对元素都有最大公因子。
（11）欧几里德整环：是主理想整环（即每个理想都是主理想），因此也是唯一因子分解整环
（12）主理想整环：主理想整环中a是不可约元等价于(a)是极大理想，因此不可约元必是素元。主理想整环都是唯一因子分解整环
（13）Gauss引理：设R是UFD，则R[x]中的两个本原多项式乘积仍是本原多项式。特别地，若K是R的分式域，非零次多项式f(x)在R[x]中不可约，则f(x)在K[x]中也不可约
（14）UFD上多项式环：仍是UFD
（15）Eisenstein判别法：设R是唯一因子分解整环，F是R的分式域，对R[x]中的非零次多项式，如果R中存在一个不可约元p，满足p整除 ，p不整除，且不整除，则f(x)在F[x]是不可约
（16）Hilbert基定理：含幺Noether环上的多项式环，也是Noether环
5. 域论和Galois理论
（1）域扩张：设K/F是一个域扩张，S是K的非空子集，K中包含的所有子域的交，称为F添加S得到的子域，它是由S生成的F的最小扩域，即K中包含的最小子域。记作F(S)。
有限生成的扩张：可由有限集合生成的F的扩域。记作
单扩张：域扩张K/F由F添加单个元素生成，即，称为单扩张
域的合成：域K中包含子域E和F的最小子域，称为E和F的合成，记作EF。易见 EF=E(F)=F(E)
代数元：对域扩张K/F，K中的一个元素t是F[x]中的某个非零多项式的零点，则称t是F上的代数元，否则称为超越元。代数元是代数数概念的推广
代数扩张：对域扩张K/F，K的所有元素都是F上的代数元，则称K/F为代数扩张，否则为超越扩张
单代数扩张：由一个代数元在F上生成的代数扩张，记作 ，为F上的代数元
（2）域F-嵌入/F-同构：域只有两个平凡的理想，域同态只有单同态和零同态。域的单同态称为域嵌入。也就是说，若K/F和E/F是域扩张，则同态 是一个域嵌入，而且在F上的限制是恒等映射，称为为一个F-嵌入。如果还是同构，则称为为一个F-同构
（3）极小多项式：设是域F的单代数扩张，F[x]中满足 的次数最小的首一多项式f(x)，称为在F上的极小多项式，记作 。极小多项式是以该代数元为零点的首一不可约多项式
（4）有限扩张：对域扩张K/F，K实际上是域F上的一个线性空间，其维数称为K/F的次数，记作[K:F]。若[K:F]是正整数，则称K/F是有限扩张，若，称为无限扩张。这个线性空间的基也叫K/F的基
（5）代数闭包：对域扩张K/F，若 是F上的代数元，则 都是F上的代数元。从而所有代数元组成的集合是K的一个子域，称它为域F在K中代数闭包，记作
有理数域Q在复数域C中的代数闭包就是代数数域，通常把的任一子域也叫代数数域
（6）分裂域：f(x)是域F上的一个n次多项式，如果有一个域扩张E/F满足f(x)在E[x]中能分解成一次因式的乘积 ，并且，则称E/F为f(x)在F上的一个分裂域。这里前一条件表示E中含有f(x)的所有零点，后一个条件表示E是包含F和f(x)所有零点的最小子域
（7）正规扩张：对代数扩张E/F，若F[x]中的任一在E中有零点的不可约多项式，都能在E[x]中分解成一次因式的乘积，则称E/F是正规扩张
（8）可分扩张：对代数扩张E/F，若E的每一个元素在F上的极小多项式f(x)是可分的，则称E/F为可分扩张
可分多项式：可分的意思是在分裂域中能分解成一次因式的乘积。对域F上的多项式 ，K为f(x)在F上分裂域，若f(x)在K[x]中的所有因式都是一次因式 ，则称f(x)是F上的可分多项式，否则称为不可分多项式
（9）Galois群：对任意域扩张K/F，K的所有F-自同构 在复合运算下构成群，称为K在F上的Galois群，记作Gal(K/F)。伽罗瓦群是扩域K的自同构群，这些自同构限制在F上的部分是恒等映射
不动点域：设G是域E的自同构群，考虑G到E的群作用 ，E在G的所有元素作用下的不动点全体，即 ，构成E的子域，称为E的G-不动点域
注意： 是域E在伽罗瓦群Gal(E/F)作用下的所有不动点构成的子域，而F在Gal(E/F)中的F-自同构映射下是不变的，因此有
（10）Galois扩张：如果域扩张E/F在伽罗瓦群Gal(E/F)作用下的不动点子域恰好等于F，则E/F称为伽罗瓦扩张
Abel扩张：E/F为伽罗瓦扩张，且Gal(E/F)是交换群
循环扩张：E/F为伽罗瓦扩张，且Gal(E/F)是循环群
主要定理：
（1）有限扩张的刻画：对有限扩张K/F，K的每一个元素都是F的代数元，因此有限扩张必是代数扩张
对三个域 ，K/F是有限扩张等价于K/L和L/F都是有限扩张，此时有
应用：可用来证明三大尺规作图问题（三等分角、立方倍积、化圆为方）的不可能性
（2）单代数扩张刻画：对域F上的单代数扩张，f(x)是在域F上的极小多项式，则有 ，并且 。即，域F的单代数扩张必同构于极小多项式生成理想对应的商环，并且此扩张的次数等于极小多项的次数
单超越扩张：域F上的单超越扩张，必同构于F的一元有理分式域
（3）分裂域的存在性：域F上的每一个n次多项式f(x)在F上都有一个分裂域E，并且 ，在同构意义下该分裂域是唯一的。
（4）正规扩张的刻画：有限扩张E/F是正规扩张，等价于E是F[x]中的某个多项式的分裂域
（5）有限域的存在性：对任意素数p和任意正整数n，存在个元素组成的有限域，并且这种域在同构意义下是唯一的。记作 。的非零元素乘法群是循环群
（6）Frobenius自同构：对有限域，映射 是 的自同构，称为Frobenius自同构，记作
（7）可分扩张的刻画：对有限生成的扩张 ，K/F是可分扩张当且仅当 是F上的可分元（即其最小多项式都是可分多项式）
（8）单扩张定理：有限可分的域扩张都是单扩张
（9）Artin引理：设G是域E的自同构群，Inv(G)是E在G作用下的不动点子域，则有 ，即E的G-不动点子域扩张到E的次数（维数）不大于G的阶
（10）Galois扩张的刻画：域扩张E/F是有限伽罗瓦扩张，等价于E/F是有限可分正规扩张，等价于E是F(x)中的某个可分多项式在F上的分裂域。对有限伽罗瓦扩张E/F有 。由这个刻画可知有限伽罗瓦扩张都是单扩张
（11）Galois基本定理：对有限伽罗瓦扩张E/F，其中间域集与伽罗瓦群Gal(E/F)的子群集之间存在双射，即 ，并且 。有数量关系 。H是Gal(E/F)的正规子群当且仅当Inv(H)在F上是正规扩张，此时
（12）Abel-Ruffini定理：特征为0的域F上的n次一般方程 ，当 时，不是根式可解的
（13）Galois定理：F是特征为0为域，，E是f(x)在F上的分裂域，则f(x)=0是根式可解的充要条件是Gal(E/F)为可解群
6. 环和域的进阶
（1）代数集：设是域K上的n元多项式环，S是 的一个非空子集，S中所有多项式的公共零点组成的集合称为S所定义的代数集，记作V(S)。对单个多项式，其所有零点的集合称为f定义的代数集，记作V(f)。对S和S生成的理想I，有V(S)=V(I)。因此只需考虑 的理想所定义的代数集。代数集是K上的n维仿射空间中的点集。
（2）定义理想：对仿射空间中的任一子集X，可以对应地定义一个理想。若X是一个代数集，则 称为代数集X定义的理想。代数集与它的定义理想是一一对应的，即
（3）代数簇： 中的素理想所定义的代数集
（4）代数簇的坐标环：对仿射空间 中的代数簇V，商环 称为V的坐标环
主要定理：
（1）多项式环 的任一理想都是有限生成的。这是上面Hilbert基定理的推论
（2）代数基本定理的推广：对多项式环 的理想J，若J不等于整个多项环即 ，则J的代数集非空即
（3）Hilbert零点定理：对多项式环 的任一理想J，有 ，其中 为J的根理想。即定义理想就是那些根理想与自身相等的理想。特别地，素理想是定义理想
参考书籍：
（1）近世代数：丘维声，北京大学出版社
（2）抽象代数I，抽象代数II：赵春来，徐明曜，北京大学出版社
（2）代数：Thomas W.Hungerford
