2019牛客暑期多校训练营（第一场）B.Integration（留数定理）
题目大意
总所周知
∫
0
∞
1
1
+
x
2
d
x
=
π
2
\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}
∫0∞1+x21dx=2π ,现求
1
π
∫
0
∞
1
∏
i
=
1
n
(
a
i
2
+
x
2
)
d
x
\frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{1}{\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}dx
π1∫0∞∏i=1n(ai2+x2)1dx
解题思路
对原式进行裂项，根据留数定理，第j项就是
1
π
∏
i
=
1
n
&
&
i
!
=
j
(
a
i
2
−
a
j
2
)
∫
0
∞
1
a
j
2
+
x
2
d
x
\frac{1}{\pi\prod_{i=1}^{n\&\&i!=j}(a_i^2-a_j^2)}\int_0^\infty\frac{1}{a_j^2+x^2}dx
π∏i=1n&&i!=j(ai2−aj2)1∫0∞aj2+x21dx 而
∫
0
∞
1
a
j
2
+
x
2
d
x
=
π
2
a
j
\int_0^\infty\frac{1}{a_j^2+x^2}dx=\frac{\pi}{2a_j}
∫0∞aj2+x21dx=2ajπ
则可以得出答案
AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std
;
typedef long long LL
;
const int mod
=1e9+7;
const int size
=1e3+5;
int quick_pow(int a
,int b
)
{
int ans
=1;
while(b
)
{
if(b
&1) ans
=1LL*ans
*a
%mod
;
a
=1LL*a
*a
%mod
;
b
>>=1;
}
return ans
%mod
;
}
int a
[size
];
int k
[size
];
int main()
{
int n
;
while(~scanf("%d",&n
))
{
for(int i
=1;i
<=n
;i
++)
{
scanf("%d",&a
[i
]);
}
for(int i
=1;i
<=n
;i
++)
{
k
[i
]=1;
for(int j
=1;j
<=n
;j
++)
{
if(j
==i
) continue;
k
[i
]=1LL*k
[i
]*((1LL*a
[j
]*a
[j
]%mod
-1LL*a
[i
]*a
[i
]%mod
+mod
)%mod
)%mod
;
}
k
[i
]=quick_pow(k
[i
],mod
-2);
}
int ans
=0;
for(int i
=1;i
<=n
;i
++)
{
ans
=(ans
+1LL*k
[i
]*500000004%mod
*quick_pow(a
[i
],mod
-2)%mod
)%mod
;
}
printf("%d\n",ans
);
}
}
