前言
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高斯整数
a
=
x
+
y
∗
i
(
x
,
y
∈
Z
)
a = x+y*i\ \ (x,y\in Z)
a=x+y∗i (x,y∈Z)，则
a
a
a 为高斯整数。
a
a
a 的范为
N
(
a
)
=
∣
a
2
∣
=
x
2
+
y
2
N(a)=|a^2|=x^2+y^2
N(a)=∣a2∣=x2+y2。若存在高斯整数
y
y
y，使得
a
y
=
1
ay=1
ay=1，则
a
a
a 为高斯整数中的乘法可逆元，
y
y
y 为
a
a
a 的逆。高斯整数
a
a
a 是可逆元的充要条件是
N
(
a
)
=
1
N(a)=1
N(a)=1，高斯整数中只有
4
4
4 个可逆元，分别是
−
1
、
1
、
i
、
−
i
-1、1、i、-i
−1、1、i、−i 。
a
、
b
a、b
a、b 为高斯整数，
a
=
b
y
a=by
a=by，则
a
a
a 和
b
b
b 等价，即
a
=
b
、
−
b
、
i
b
、
−
i
b
a=b、-b、ib、-ib
a=b、−b、ib、−ib 。
高斯素数
定义：设
ϕ
\phi
ϕ 为高斯整数中的非零非可逆元，则
ϕ
\phi
ϕ 为高斯素数。即
ϕ
\phi
ϕ 的因子或者为可逆元，或者是与
ϕ
\phi
ϕ 等价的高斯整数。
ϕ
\phi
ϕ 为高斯整数，且
N
(
ϕ
)
=
p
N(\phi)=p
N(ϕ)=p 为素数，则
ϕ
\phi
ϕ 必定为高斯素数。若
ϕ
\phi
ϕ 为高斯素数，则其共轭元也是高斯素数。
高斯素数判断
高斯整数
a
+
b
i
a+bi
a+bi 是素数，当且仅当：
a
、
b
a、b
a、b 中有一个是零，另一个数的绝对值是形如
4
∗
n
+
3
4*n+3
4∗n+3 的素数。
a
、
b
a、b
a、b 均不为零，而
a
2
+
b
2
a^2+b^2
a2+b2 为素数。
费马平方和定理
奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被
4
4
4 除余
1
1
1，即
4
∗
n
+
1
4*n+1
4∗n+1。例题：找出
[
l
,
r
]
[l,r]
[l,r] 中的素数
t
t
t，满足
t
=
a
2
+
b
2
(
a
,
b
∈
N
∗
)
t=a^2+b^2\ \ (a,b\in N^{*})
t=a2+b2 (a,b∈N∗)，输出这种素数总数。
